BZOJ 2839: 集合计数广义容斥

最新推荐文章于 2021-09-12 00:50:41 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-12 00:50:41 发布 · 122 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文探讨了在N个元素集合中，选择若干子集，使这些子集的交集大小固定为k的问题，通过引入f[k]和g[k]两个辅助函数，利用组合数学原理和容斥原理，给出了具体的计算方法和C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在一个 $N$ 个元素集合中的所有子集中选择若干个，且交集大小为 $k$ 的方案数.

按照之前的套路，令 $f[k]$ 表示钦定交集大小为 $k$，其余随便选的方案数. 令 $g[k]$ 表示交集恰好为 $k$ 的方案数.
则有 $f[k]=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g[k]$，反演得 $g[k]=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f[i]$
而 $f[k]=\binom{n}{k}2^{2^{n-k}}$，直接带入求值即可.

code:

#include <bits/stdc++.h>   
#define N 1000005   
#define LL long long 
using namespace std;  
const LL mod=1000000007;      
void setIO(string s) 
{
    string in=s+".in"; 
    string out=s+".out"; 
    freopen(in.c_str(),"r",stdin); 
} 
int a[N]; 
LL fac[N],inv[N],f[N],g[N],poww[N];       
LL qpow(LL x,LL y) 
{
    LL tmp=1ll; 
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) 
        if(y&1) tmp=tmp*x%mod;  
    return tmp;   
} 
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); } 
LL C(int x,int y) 
{
    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;       
}   
int main() 
{ 
    // setIO("input");  
    int i,j,n,k; 
    fac[0]=inv[0]=poww[0]=1ll;           
    scanf("%d%d",&n,&k); 
    for(i=1;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=Inv(fac[i]),poww[i]=poww[i-1]*2ll%(mod-1);
    for(i=0;i<=n;++i) f[i]=C(n,i)*qpow(2,poww[n-i])%mod;    
    LL ans=0ll;  
    for(i=k;i<=n;++i) (ans+=(qpow(-1,i-k)*C(i,k)%mod*f[i]%mod+mod)%mod)%=mod;  
    printf("%lld\n",ans); 
    return 0;     
}