【BZOJ2839】集合计数（容斥，动态规划）

最新推荐文章于 2021-09-12 00:50:41 发布

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本文介绍了一道关于组合数学的问题，即从2^n个子集中选取若干个集合，使其交集大小为K的方法数。文章提供了详细的解决方案，包括使用容斥原理计算方案数的过程，并附带了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

BZOJ
权限题

Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

题解

比较简单的容斥吧。。
设 $f[i]$ 表示至少有 $i$ 个相同元素的方案数
$f[i]=C_n^k(2^{2^{n-k}}-1)$
然后显然 $f[i]=\sum_{j=i}^n (-1)^{j-i}f[i]*C_j^i$
时间复杂度 $O(nlogn)$ ，瓶颈在快速幂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 1000000007
#define MAX 1000001
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b,int mod)
{
    int s=1;
    while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
    return s;
}
int f[MAX],n,k;
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
    n=read(),k=read();
    jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
    for(int i=k;i<=n;++i)f[i]=1ll*C(n,i)*(fpow(2,fpow(2,n-i,MOD-1),MOD)-1)%MOD;
    for(int i=k+1,d=1;i<=n;++i,d=MOD-d)f[k]=(f[k]+MOD-1ll*f[i]*C(i,k)%MOD*d%MOD)%MOD;
    printf("%d\n",f[k]);
    return 0;
}