康托展开【全排列】

康托展开

题目描述

给出一个数N，再给出N的全排列的某一个排列，问该排列在全排列中的次序是多少？例如3的全排列中，123排第一位，321排最后一位

输入描述

第一行为一个数N，第二行为N的全排列的某一个排列

输出描述

一个整数，表示该排列在全排列中的次序

样例

输入

3
1 2 3

输出

1

思路

设有 n 个数，可以有组成不同(种)的排列组合，康托展开表示的就是是当前排列组合在 n 个
不同元素的全排列中的名次。
那我们首先确定肯定不能暴力
因为本题范围是20，而20个字符全排列是一个很恐怖的数字：
是多少呢？$20!$ 即 $2.432902e+18$
翻译成是个人都能看懂的就是 $2.432902\times 10^{18}$
这别说是时间超限都够时间它轮回一趟了
那我们就该引入本题的正解了：
观察样例，由于本题是字典序排列，所以只要比排列数小的数字都该排在它的前面
单说可能不太直观，举个例子25431
先看万位2：
因为比25431小的排列数都该排在它的前面，所以以1开头的排列数就都排在了它的前面
以1开头的五位排列数有多少呢？
$4!$ 因为第一位确定是1然后剩下四位全排列
所以25431光万位可以排除$1\times 4!$个数，注意假如万位是$x$是相应的要把1改成$x-1$
同理，观察往后的数，可得25431前面有：
$X=$$1\times 4!+3\times 3!+2\times 2!+1\times 1!+0\times 0!$个数
所以我们可以总结成公式的形式：
$X=$$a[1]\times (n-1)!+a[2]\times (n-2)!+a[3]\times (n-3)!+...+a[n-1]\times 0!$
之后的代码相信聪明的读者是可以自己写出来哒(￣▽￣)~*
注意：由于康托展开求的是输入排列数前面有多少排列数，所以算出答案要+1

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

int N;
int a[25]; //排列数组
long long p[25]; //阶乘数组
long long sum = 1; //次序

//康托展开函数（模版，建议寄到小本本上(｀・ω・´)）
long long cantor(int n) {
	//阶乘
	p[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 15; i++) {
		p[i] = p[i - 1] * (i + 1);
	}
	//重中之重
	long long s = 0;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		//枚举当前位前面有多少个数没有被用过
		s = 0;
		for (int j = i + 1; j < n; j++) {
			if (a[i] > a[j]) {
				s++;
			}
		}
		sum += s * p[n - 2 - i];  //用可用数数量*阶乘
	}
	return sum;
}

int main() {
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	printf("%lld", cantor(N));
	return 0;
}