算法基础：康托展开与逆康托展开

康托展开与逆康托展开

序言:
本文记录康托展开与逆康拓展开的原理以及其应用。

1.概述
举例而言，对于 1 ~ 4 的一个全排列 [1, 2, 3, 4] 和 [4, 3, 2, 1]，我们知道，从字典序而言，前者是该全排列集的第一个，后者是该集的最后一个。那么，所谓康托展开，即给定一个 $n$ 位数的全排列，我们可以根据康托展开公式确定其应当是字典序中的第“几”个全排列。
由于康托展开计算的是某个全排列方式在该全排列集合中的字典序(或者说是排名)，其映射关系唯一且单调，故该映射关系是可逆的。即，我们给定一个全排列的所有字符，以及某个字典序号，我们可以利用逆康托展开得到相应的那个全排列。

2.康托展开
给定一个全排列，计算其字典序。直观起见，我们举例[2, 3, 4, 1]来说明康托展开的运作步骤：
命所求字典序为 $rank=0$

1. 第 1 位是 2， 那么以 1 打头的所有全排列一定排在这个全排列之前，那么以 1 打头的全排列有 (3!) = 6种，$rank=rank+1\ast 3!=6$。
2. 第 2 位是 3，那么以 1 与 2 作为第二位的所有全排列一定在这个圈排列之前。不过我们已经让 2 打头了，因此不需要再考虑 2 占第二位的情况，只需要计算 1 占第二位的情况。$r$