推导一个向量逆时针绕起点旋转α度后得到的向量

向量(x, y)逆时针绕起点旋转$\alpha$度后得到的向量(x’, y’)：

$x^{\prime }=xcos\alpha -ysin\alpha$
$y^{\prime }=xsin\alpha +ycos\alpha$

推导过程：

$d=\sqrt{x^2+y^2}$

$cos\theta =x/d$
$sin\theta =y/d$

$cos(\theta +\alpha )=x^{\prime }/d$
$sin(\theta +\alpha )=y^{\prime }/d$

由：
$cos(\alpha +\theta )=cos\alpha cos\theta -sin\alpha sin\theta$
$sin(\alpha +\theta )=sin\alpha cos\theta +cos\alpha sin\theta$

得：
$$cos(\theta +\alpha )=cos\alpha cos\theta -sin\alpha sin\theta$$

$$=cos\alpha \frac{x}{d}-sin\alpha \frac{y}{d}=\frac{x^{\prime }}{d}$$

$$sin(\theta +\alpha )=sin\alpha cos\theta +cos\alpha sin\theta$$

$$=sin\alpha \frac{x}{d}+cos\alpha \frac{y}{d}=\frac{y^{\prime }}{d}$$

消除$d$得：
$$x^{\prime }=cos\alpha \cdot x-sin\alpha \cdot y$$

$$y^{\prime }=sin\alpha \cdot x+cos\alpha \cdot y$$