floyd + 记录路径 hdu 1385

floyd算法:
用于求解全源最短路径问题,也就是任意两点间的最短路径。
定义d[k][i][j]为只使用0~k的情况下以i为起点到j的最短路径。
将0~k的情况归约到0~k-1的情况。当0~k时,分为两种情况一种是只经过k一次,另一种是不经过k。若不经过k,那么d[k][i][j] = d[k-1][i][j]。如果经过k,那么d[k][i][j] = d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]。
转移方程:d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])。
联想到背包问题的做法,我们可以直接使用二维数组来存储,不断进行d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])的更新。
floyd中的记录路径:

记录前驱:

在dijkstra中,记录路径一般用一个pre[]数组来记录每个点的前驱,在更新最短路径的同时,更新前驱。
floyd中也可以这样,用pre[a][b]来表示起点为a的情况下,b点的前驱。初始化就遍历i=0->n,p[i][j] = i。再将p[i][i]赋为-1,方便还原路径。

记录后继:

但是有点不同的就是也可以用p[a][b]来记录以b为终点的情况下,a点的后继。floyd可以记录后继的,因为这样定义以后,如果要经过k点,那么p[i][j]就应该被p[i][k]所更新,也就是说以b为终点时,a点的后继其实也就是以k为终点时,a点的后继。于是就将初始化改成i=0->n ,p[i][j] = j。也将p[i][i]赋为-1,方便还原路径。
hdu 1385
题意:给一个图,有多次询问,也就是要求任意两点之间的最短路径。并且将路径输出。如果有相同的最短路,输出字典序最小的(一开始就没有注意到这个orzz)
背景:采用记录前驱的方法保存路径,交了,WA,看了好久才发现要字典序,所以在d[i][j] = d[i][k]+d[k][j]的时候要小心,有可能需要更新路径,虽然最短路没有改变。
发现记录前驱的话字典序一直无法满足,因为只能保证前驱尽可能的小,但是字典序应该是从头开始,每个数都尽可能小。
discuss里一组数据:
3
0 2 4
-1 0 1
-1 -1 0
1 1 1
1 3
结果是1–>2–>3
记录前驱的话结果会是1–>3。
于是看了别人的学习了下发现还可以记录后继orz。在输出的时候就直接顺序输出就好了。如果是记录前驱的话可以用一个栈来先保存,最后将栈中的一个个输出。

//floyd
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;
#define M 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
int d[M][M];
int p[M][M];//p[i][j] 表示以j为终点的情况下,i的后继。
int v[M];
int n;
void floyd()
{
    for(int k = 1;k <= n;k++)
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    for(int j = 1;j <= n;j++)
    {
        if(d[i][j] > d[i][k]+d[k][j]+v[k]) //经过k点需要交v[k] 这么多税
        {
            d[i][j] = d[i][k]+d[k][j]+v[k];
            p[i][j] = p[i][k];
        }
        else if(d[i][j] == d[i][k]+d[k][j]+v[k])
            p[i][j] = min(p[i][j],p[i][k]);
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1 && n)
    {
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            for(int j = 1;j <= n;j++)
            {
                p[i][j] = j;  //将以j为终点的后继都初始化为j
                scanf("%d",&d[i][j]);
                if(d[i][j] == -1) d[i][j] = INF;
            }
        }
        int a,b;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            p[i][i] = -1;
            scanf("%d",&v[i]);
        }
        floyd();
        while(scanf("%d %d",&a,&b)==2)
        {
            if(a==-1 && b==-1) break;
            printf("From %d to %d :\n",a,b);
            printf("Path: ");
            int i = p[a][b];
            printf("%d",a);
            while(i != -1)
            {
                printf("-->%d",i);
                i = p[i][b];
            }
            printf("\nTotal cost : %d\n\n",d[a][b]);
        }
    }
    return 0;
}
<think>好的,我现在需要帮助用户了解如何用C++实现Floyd算法来记录最短路径。首先,我应该回忆一下Floyd算法的基本概念和实现步骤。Floyd算法是一种动态规划算法,用于计算图中所有顶点对之间的最短路径。它的时间复杂度是O(n³),适用于包含负权边但不含负权环的图。 用户提到的是如何记录路径,而不仅仅是计算最短距离。通常,Floyd算法实现中会使用一个距离矩阵来存储各顶点之间的最短距离,但为了记录路径,还需要一个路径矩阵(通常称为next矩阵),用于记录从顶点i到顶点j的最短路径中,i之后的下一个顶点。 接下来,我需要考虑如何在C++中实现这一点。首先,初始化距离矩阵和路径矩阵。距离矩阵初始时,各边的权值就是输入的权值,如果两个顶点之间没有直接边相连,则设为无穷大。路径矩阵next初始时,如果i和j之间有边,则next[i][j] = j,否则可能需要设为-1或其他标识符。 然后,Floyd算法的核心是三重循环,遍历每个中间顶点k,以及所有顶点对i和j。如果通过k作为中间点,i到j的路径更短,则更新距离矩阵和路径矩阵。具体来说,如果dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j],则更新dist[i][j]为这个更小的值,并更新next[i][j]为next[i][k],因为从i到j的最短路径现在经过k,所以i的下一个节点应该是i到k路径上的下一个节点。 在代码实现中,需要注意图的顶点编号是否从0开始。通常,在C++中,顶点从0到n-1编号比较方便。然后,如何输出路径呢?可以编写一个递归函数,通过next矩阵来回溯路径。例如,从i开始,找到next[i][j],然后递归处理next[next[i][j]][j],直到到达j为止。 现在,我需要检查用户提供的引用内容。引用[1]和[4]提到Floyd算法是动态规划的,引用[4]还提到使用next矩阵来记录路径。这与我之前的思路一致。因此,实现时需要初始化next矩阵,并在每次更新距离时同步更新next矩阵。 可能的错误点包括:初始化路径矩阵时是否正确处理了直接相连的边,以及在更新路径时是否正确指向中间节点。此外,处理无穷大值时需要注意数据类型的选择,比如使用INT_MAX或一个足够大的数,并在计算时防止溢出。 最后,编写示例代码时,需要包含输入图的处理,初始化矩阵,执行Floyd算法,并展示如何输出路径。例如,用户输入顶点数和邻接矩阵后,程序计算最短路径矩阵和路径矩阵,然后通过路径矩阵递归输出具体路径。 总结步骤: 1. 定义图的顶点数和邻接矩阵。 2. 初始化距离矩阵和路径矩阵。 3. 三重循环更新距离和路径矩阵。 4. 编写路径输出函数。 5. 测试代码并处理边界情况,如不可达的顶点。</think>以下是用C++实现Floyd算法并记录最短路径的详细步骤和代码示例: ### 一、核心实现思路 1. **动态规划思想**:通过中间节点逐步优化所有顶点对的最短路径[^4] 2. **路径记录**:使用二维数组`next`存储路径信息,其中`next[i][j]`表示从$i$到$j$的最短路径的第一个中转节点[^4] 3. **三重循环**:时间复杂度$O(n^3)$,空间复杂度$O(n^2)$[^2] ### 二、完整代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <climits> using namespace std; const int INF = INT_MAX; void printPath(int i, int j, const vector<vector<int>>& next) { if (next[i][j] == -1) { cout << "No path"; return; } cout << i; while (i != j) { i = next[i][j]; cout << " -> " << i; } } void floydWarshall(vector<vector<int>>& graph, int n) { vector<vector<int>> dist(n, vector<int>(n)); vector<vector<int>> next(n, vector<int>(n, -1)); // 初始化 for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { dist[i][j] = graph[i][j]; if (graph[i][j] != INF && i != j) { next[i][j] = j; } } } // Floyd核心算法 for (int k = 0; k < n; ++k) { for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF && dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) { dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; next[i][j] = next[i][k]; } } } } // 输出路径 cout << "Path from 0 to 3: "; printPath(0, 3, next); cout << "\nDistance: " << dist[0][3] << endl; } int main() { int n = 4; vector<vector<int>> graph = { {0, 3, INF, 5}, {2, 0, INF, 4}, {INF, 1, 0, INF}, {INF, INF, 2, 0} }; floydWarshall(graph, n); return 0; } ``` ### 三、关键点解析 1. **路径记录机制**: - `next[i][j]`存储的是$i$到$j$路径上的第一个中转节点 - 更新规则:当发现更短路径时,`next[i][j] = next[i][k]`[^4] 2. **路径重构算法**: ```cpp void printPath(int i, int j, ...) { while (i != j) { i = next[i][j]; cout << " -> " << i; } } ``` 3. **输入矩阵处理**: - 使用`INF`表示不可达路径 - 对角线元素初始化为0(顶点到自身) ### 四、算法验证 示例输入矩阵: $$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & ∞ & 5 \\ 2 & 0 & ∞ & 4 \\ ∞ & 1 & 0 & ∞ \\ ∞ & ∞ & 2 & 0 \end{pmatrix} $$ 输出结果: ``` Path from 0 to 3: 0 -> 1 -> 3 Distance: 7 ```
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