0024算法笔记——【贪心算法】单源最短路径问题

最新推荐文章于 2025-06-15 14:08:42 发布

风仲达

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分类专栏：算法算法笔记——《算法设计与分析》文章标签：单源最短路径贪心算法 Dijkstra算法算法笔记特殊路径

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本文是关于Dijkstra算法的算法笔记，详细介绍了如何使用该算法解决单源最短路径问题。通过不断贪心选择扩充顶点集合，求得从源点到所有其他顶点的最短路径长度。Dijkstra算法包括初始化路径长度，选择具有最短路径的顶点，以及在添加新顶点后更新最短路径的过程。

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1、问题描述

给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

2、Dijkstra算法

Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在