0007算法笔记——【分治法】最接近点对问题

本文介绍了使用分治法解决一维和二维最接近点对问题的算法思路。首先,通过一维问题的分析,说明如何通过排序和线性扫描找到最接近点对,并讨论了分割点的选择。接着,将方法推广到二维问题,通过选取中位数作为分割线,利用点的稀疏性减少合并步骤的计算量。最终,给出了二维问题的程序清单。

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      问题场景:在应用中,常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中,常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如,在空中交通控制问题中,若将飞机作为空间中移动的一个点来看待,则具有最大碰撞危险的2架飞机,就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。

      问题描述给定平面上n个点,找其中的一对点,使得在n个点的所有点对中,该点对的距离最小。严格地说,最接近点对可能多于1对。为了简单起见,这里只限于找其中的一对。

      1、一维最接近点对问题

       算法思路

       这个问题很容易理解,似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出,找出达到最小距离的两个点即可。然而,这样做效率太低,需要O(n^2)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到,该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。采用分治法思想,考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2,每个子集中约有n/2个点,然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里,一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤,即由S1和S2的最接近点对,如何求得原集合S中的最接近点对,因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中,则问题很容易解决。但是,如果这2个点分别在S1和S2中,则对于S1中任一点p,S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者,仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此,依此思路,合并步骤耗时为O(n^2)。整个算法所需计算时间T(n)应满足: T(n)=2T(n/2)+O(n^2)。它的解为T(n)=O(n^2),即与合并步骤的耗时同阶,这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法,我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤上。      

      设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,..,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2,..,xn排好序,然后,用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算时间花在排序上,在排序算法已经证明,时间复杂度为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此,对这种一维的简单情形,我们还是尝试用分治法来求解,并希望能推广到二维的情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2,使得S1={x∈S|x≤m};S2={x∈S|x>m}。这样一来,对于所有p∈S1和q∈S2有p<q。递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2},并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|},S中的最接近点对或者是{p1,p2},或者是{q1,q2},或者是某个{p3,q3},其中p3∈S1且q3∈S2。如图所示。

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### 关于算法设计与分析的学习笔记和资料 以下是关于算法设计与分析的一些学习资源及其相关内容: #### 小顶堆的应用——寻第 k 个小元素 通过构建小顶堆来解决从 n 个元素中到第 k 个小元素的问题是一种经典方法。其核心思想如下[^2]: - 构建一个小顶堆,使得堆顶始终是小的元素。 - 删除堆顶元素并重新调整堆结构,重复此操作 k-1 次后,当前堆顶即为第 k 个小元素。 这种实现方式的时间复杂度可以分为两部分: - 建立初始的小顶堆所需时间为 \(O(n)\)。 - 每次删除堆顶元素并调整堆的操作时间复杂度为 \(O(\log n)\),因此总复杂度为 \(O(k \cdot \log n)\)。 当 \(k\) 较小时,这种方法效率较高;但如果 \(k\) 接近 \(n/2\) 或更大,则可能需要考虑其他更高效的解决方案。 #### 算法设计的核心概念 在《计算机算法设计与分析》的相关笔记中提到,算法设计通常围绕以下几个方面展开[^1]: - **分治策略**:将大问题分解成若干子问题分别求解,后合并结果得到终解答。 - **动态规划**:适用于具有重叠子问题特性的优化问题,通过记录中间状态避免重复计算。 - **贪心算法**:每一步都采取局部优的选择,期望达到全局优解。 - **回溯法**:用于穷举搜索空间中的可行解路径,在遇到不可行分支时及时返回上一层继续探索。 下面是一个简单的快速排序代码示例作为分治思想的具体体现: ```python def quick_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr else: pivot = arr[len(arr) // 2] left = [x for x in arr if x < pivot] middle = [x for x in arr if x == pivot] right = [x for x in arr if x > pivot] return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right) ``` #### 学习建议 对于初学者而言,《计算机算法设计与分析》是一本非常有价值的教材。它不仅提供了理论基础,还包含了大量实际案例帮助理解抽象的概念。此外,“算法导论”也是另一部经典的入门书籍,适合深入研究各种高级主题。 如果希望获得更多实践机会,可以通过在线平台如 LeetCode、Codeforces 参加编程竞赛或者完成日常练习题目巩固所学知识。 ---
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