整环上的进制转换

由于博主实在太菜，本文中极其容易出现错误，请各位指正，谢谢

鏼一题，顺便学习整环上的进制转换。。
设整环$Z$可以被以$d$为基数的进制表示。。且模$d$的一个剩余系是$S$，其大小是$|S|$（$|S|$应该是$d$的范数？）。
形式化地，$\forall A\in Z$，存在唯一的一个向量$g(\forall i,g_i \in S)$，使得$A=\sum\limits_{i=0}^\infty g_i d^i$。

比如当$Z=\mathbb{N}$，$d=10$，$S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$时，就是常见的10进制。
当$Z=\mathbb{Z}$，$d=-10$，$S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$时就是-10进制辣~
$e.g.$-10进制下11对应的$g=\{1,9,1,0...\}$

让我们想想$\mathbb{N}$中的进制转换是什么样的：
每次取$A\mod d$为末位，然后对$A/d$（本文中$/$均为整除，即$a/b=\frac{a-a \mod b}{b}$）递归进行，当$A=0$时结束。

一般整环上是一样的：
每次取$A\mod d$为末位，然后对$A/d$递归进行，当$A=0$时结束。
这里mod运算和整除的具体做法由具体的$Z$而定。
有些时候，这两种运算不易用计算机实现，但判定是否能整除通常比较容易实现，这时有个比较暴力的方法就是枚举$S$中的元素$a$判断$A-a$能否被$d$整除。。。这个要枚举$O(|S|)$次，不过一般$|S|$比较小所以也能接受。
不过有时候$S$是个无限集，gg

栗子：
poj 3191 The Moronic Cowmpouter
$Z=\mathbb{Z}$，$d=-2$，$S=\{0,1\}$
直接做即可

Gauss整数进制转换
$Z=\{x+yi|x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$，$d=-1-i$，$S=\{0,1\}$
据说由于Gauss整数的性质可以转化成上一个题，但是蒟蒻只会直接做。。

Gauss整数进制转换 II
$Z=\{x+yi|x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}\}$，$d=2+i$，$S=\{0,1,2,i,1+i\}$
和上一题差不多。。不过很难转化成$\mathbb{Z}$中的进制转换了。
有个结论是Gauss整数中$x+yi$的范数是$x^2+y^2$

多项式进制转换
$Z=Z[x](\mod p)$，$d=p_0(x)$，$S=\{p(x)|p(x)< p_0(x)\}$
这里因为是无限集所以不能枚举取模了。。好在多项式可以直接取模
具体方法参见Picks的博客。。应该在多项式乱搞技术中用得上？