几个零散的数学点

我的数学好菜呀

（OI考这么多高数真的好吗

来记几个零散的知识点。。。
（明明就是从高数中挖了几个OI常见的知识

1.拉格朗日插值
已知一个$n$阶多项式的$n+1$组值，求该多项式。
本着OI只用不证的原则就直接给公式了
其实是我太弱
设多项式为$y=P(x)$，$n+1$组值分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_n,y_n),(x_{n+1},y_{n+1})$
则该多项式为：

$$P(x)=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\prod_{j=1,j\not =i}^{n+1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
如果阶数已知为$n+1$那么把每个值代进去就能证了。。至于怎么证这个多项式是$n+1$阶就不讲了。
一个例子：自然数幂和

2.拉格朗日乘数法
求有一个约束的可导多元函数极值。

设这个多元函数为$y=f(x_1,x_2,...,x_n)$，满足约束$\phi(x_1,x_2,...,x_n)=0$，求$y$的极值
做法：极值处导数为0.所以可以这么做：
设$z=g(x)=y+\lambda\phi(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,x_2,...,x_n)+\lambda\phi(x_1,x_2,...,x_n)$
则方程组

$$\left\{ \begin{aligned} \frac {\partial z}{\partial x_1}=0\\ \frac {\partial z}{\partial x_2}=0\\ ...\\ \frac {\partial z}{\partial x_n}=0\\ \frac {\partial z}{\partial \lambda}=0 \end{aligned} \right.$$
的解就是驻点。。经验证可得极值。。

3.Taylor展开
用多项式拟合一个可导函数。

设要拟合的函数为$y=f(x)$，那么$\forall x_0 \in D$，有

$$y=\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(x-x_0)^i}{i!}$$
或者带佩亚诺余项
$$y=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x-x_0)^i}{i!}+o((x-x_0)^n)$$
（就是在$x_0$处展开
在OI中有什么用？
我能想到的就是近似。。
比如一些无法维护的标记（比如$e^x$和$\sin x$之类的函数可以展开搞搞
常数炸上天
什么展开37项用Link-Cut-Tree维护的毒瘤题
或者把一些东西展开成多项式，然后用多项式奇技淫巧乱搞。。
比如Picks博客介绍过的$O(n\log n)$求前n项伯努利数。

以上是几个高数内容。。
多项式，线性代数，组合这几个大坑慢慢学吧。。qwq

我好菜呀