附录 多元函数积分学的基础知识

附一  向量代数

附二  空间平面与直线

5. 设直线过点$P_1(x_1,y_1,z_1)$，方向向量$\mathbf{\tau }=(l,m,n)$，则点$P_0(x_0,y_0,z_0)$到直线的距离$$d=\frac{|\mathbf{\tau }\times \overrightarrow{P_0{P}_1}|}{|\mathbf{\tau }|}=\frac{\Vert \begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1-x_0& y_1-y_0& z_1-z_0\\ l& m& n\end{array}\Vert }{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}.$$（推导：以$\mathbf{\tau },\overrightarrow{P_0{P}_1}$为边画平行四边形，则$|\mathbf{\tau }\times \overrightarrow{P_0{P}_1}|$表示该平行四边形的面积，而$|\mathbf{\tau }|$表示该平行四边形的底边长。）
6. 两平行直线的距离$$d=\frac{\Vert \begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1-x_2& y_1-y_2& z_1-z_2\\ l& m& n\end{array}\Vert }{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}.$$其中，$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$分别为两直线$L_1,L_2$上的两点，$\mathbf{\tau }=(l,m,n)$为$L_1,L_2$的方向向量。
7. 两异面直线的距离$$d=\frac{|({\mathbf{\tau }}_1\times {\mathbf{\tau }}_2)\cdot \overrightarrow{P_0{P}_1}|}{|{\mathbf{\tau }}_1\times {\mathbf{\tau }}_2|}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ l_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\right|}{\Vert \begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ l_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\Vert }.$$其中，$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$分别为两直线$L_1,L_2$上的两点，${\mathbf{\tau }}_1=(l_1,m_1,n_1),{\mathbf{\tau }}_2=(l_2,m_2,n_2)$分别为$L_1,L_2$的方向向量。
8. 两平行平面之间的距离$d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。

附三  空间曲线的切线与切平面

附四  空间曲面的切平面与法线

附五  空间曲线在坐标面上的投影

附六  旋转曲面

附七  场论

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