洛谷P1417：优先级与背包问题

最新推荐文章于 2024-07-16 10:17:07 发布

litble

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分类专栏：动态规划数学文章标签：动态规划背包排序

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本文介绍了一种带有时间成本约束的01背包问题的解决方案，通过优先级排序和动态规划的方法来求解最优解。具体地，文章给出了问题的数学分析过程和C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目分析

如果没有时间的影响的话，这就是一个简单的01背包问题。
可是有。
这个时候可以通过排序，而优先级呢，来解决。
假如此时此刻是p，有x和y两道菜，如果先做x比先做y优，则有：

a[x]-(p+c[x])*b[x]+a[y]-(p+c[x]+c[y])*b[y]>a[y]-(p+c[y])*b[y]+a[x]-(p+c[x]+c[y])*b[x]
然后随便拆一拆括号。
a[x]-p*b[x]-c[x]*b[x]+a[y]-p*b[y]-c[x]*b[y]-c[y]*b[y]>a[y]-p*b[y]-c[y]*b[y]+c[x]-p*b[x]-c[x]*b[x]-c[y]*b[x]
然后随便消除一下同类项
c[y]*b[x]>c[x]*b[y]

就是这样，喵～

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll f[100005];
struct node{ll a,b,c;}fod[55];
ll read(){
    ll w=1,q=0;char ch=' ';
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')q=(ll)q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return (ll)w*q;
}
int n,m;ll ans;
bool cmp(node x,node y){
    return x.b*y.c>y.b*x.c;
}
int main()
{
    int i,j;
    m=read();n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)fod[i].a=read();
    for(i=1;i<=n;i++)fod[i].b=read();
    for(i=1;i<=n;i++)fod[i].c=read();
    sort(fod+1,fod+1+n,cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=m;j>=fod[i].c;j--)
            f[j]=max(f[j],(ll)(f[j-fod[i].c]+fod[i].a-(ll)fod[i].b*j));
    for(i=1;i<=m;i++)ans=max(ans,f[i]);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}