最大权闭合子图

参考资料：胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

1.什么是最大权闭合子图？

如图所示（图是网上找的）

如果对于一个点集合，其中任何一个点都不能到达此集合以外的点，这就叫做闭合子图。每个点都有一个权值，那么最大权闭合子图就是权值最大的那个闭合子图。

图中的闭合子图有空集，{5}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}

其中最大权闭合子图是{3，4，5}

2.怎么求最大权闭合子图？

首先构造一张网络流图，把每个正权值的点i连接(s,i，x)（x是权值）。把每个负权值的点i连接（i,t,-x），原图中的边连接（i,j,正无穷）然后求最小割，所有正权值之和减去最小割就得到了最大权闭合子图。

3.为什么？（以下证明较为晦涩难懂)

我这个蒟蒻看同一段话看了两个小时才勉强明白。

定义简单割：就是割边都与源点或汇点连接的割。

证明1：最小割一定是简单割

这个证明很简单吧......因为如果是一条不和源点与汇点连通的点的话，那么这条边的容量就是正无穷，那么就不可能是最小割

证明2：简单割和闭合子图存在一一对应关系（表示的东西：一个简单割表示不在闭合子图的正权点和在此闭合子图里的负权点）

这个证明有点绕......详细的还是看pdf吧....

证明闭合图是简单割：如果闭合图不是简单割，那么有一条容量为正无穷的边，说明闭合图中有一条出边不在闭合图中，不符合闭合图的定义

证明简单割是闭合图：简单割里没有容量为正无穷的边，所以假如S（起点那一块）中的点s可以到达一点t，那么如果t是正权，则在S中，如果t是负权，则不在T中（终点那一块）

证明3：取最小割的时候得到的是最大权

那么w(闭合图）=闭合图中正权-（-闭合图中负权）

回忆一下简单割的表示的东西，可以得到：

w(闭合图）+割=闭合图中正权-（-闭合图中负权）+非闭合图正权+（-闭合图中正权）

那么w(闭合图）+割=闭合图中负权+非闭合图中正权

w(闭合图）=正权点之和-割

所以要让闭合图最大，就要让割最小

4.应用

hoj2634就是这样的题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int m,n,T,sum,s,t;
long long flow[20005];
int go[200005],h[205],ne[200005],level[205],que[205];
long long inf=1999999999,he;
void add(int x,int y,long long z){
	sum++;go[sum]=y;ne[sum]=h[x];h[x]=sum;flow[sum]=z;
	sum++;go[sum]=x;ne[sum]=h[y];h[y]=sum;flow[sum]=0;
}
bool bfs(){
	int i,head=1,tail=1,from;
	for(i=s;i<=t;i++)level[i]=0;
	level[s]=1;que[1]=s;
	while(head<=tail){
		from=que[head];
		if(from==t)return 1;
		for(i=h[from];i!=-1;i=ne[i])
			if(level[go[i]]==0&&flow[i]>0){
				level[go[i]]=level[from]+1;
				tail++;que[tail]=go[i];
			}
		head++;
	}
	return 0;
}
long long dfs(int x,long long liu){
	int i;
	long long sum=0,kl;
	if(x==t)return liu;
	for(i=h[x];i!=-1;i=ne[i])
		if(level[go[i]]==level[x]+1&&flow[i]>0){
			kl=dfs(go[i],min(liu-sum,flow[i]));
			sum+=kl;flow[i]-=kl;flow[i^1]+=kl;
			if(sum==liu)return sum;
		}
	return sum;
}
long long find(){
	long long ans=0;
	while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
	return ans;
}
int main()
{
   	int i,j,num,y;
   	long long x;
   	scanf("%d",&T);
   	while(T){
   		T--;sum=1;he=0;
   		scanf("%d%d",&n,&m);
   		s=0;t=n+m+1;
   		for(i=s;i<=t;i++)h[i]=-1;
   		for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&x);add(s,i,x);he+=x;}
   		for(i=1;i<=m;i++){scanf("%lld",&x);add(i+n,t,x);}
   		for(i=1;i<=n;i++){
   			scanf("%d",&num);
   			for(j=1;j<=num;j++){scanf("%d",&y);add(i,y+n+1,inf);}
   		}
   		printf("%lld\n",he-find());
   	}
   	return 0;
} 
/*项目：1～n，人：n~m+n*/