数字图像的频域滤波

 1. FFT变换与频谱/相位谱显示：

- 原理：先将图像转换为灰度图，进行二维快速傅里叶变换（FFT），再将零频率分量移到频谱中心。通过对变换结果的处理得到幅度谱和相位谱。幅度谱反映图像中不同频率成分的强度，相位谱反映各频率成分的相位信息。

- 特点：能够直观展示图像在频域的特征，为后续滤波操作提供基础频域信息。

def show_fft(image):
    gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_RGB2GRAY)
    f = np.fft.fft2(gray_image)
    fshift = np.fft.fftshift(f)

    magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fshift) + 1)
    phase_spectrum = np.angle(fshift)

    plt.figure(figsize=(12, 4))
    plt.subplot(131), plt.imshow(image)
    plt.title('原始图像'), plt.axis('on')

    plt.subplot(132), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
    plt.title('幅度谱'), plt.axis('on')

    plt.subplot(133), plt.imshow(phase_spectrum, cmap='gray')
    plt.title('相位谱'), plt.axis('on')

    plt.show()

show_fft(image)

2. 低通滤波器：

- 原理： - 理想低通滤波器：在指定截止频率内，允许频率通过，截止频率外的频率完全阻挡。通过在频谱中心画圆来创建滤波器掩码。

- 高斯低通滤波器：基于高斯函数，频率越接近中心（低频部分），通过的比例越高，随着频率远离中心（高频部分），通过比例逐渐降低。

- 巴特沃斯低通滤波器：根据滤波器的阶数和截止频率，以一定的数学公式来控制不同频率的通过比例，阶数越高，从通带到阻带的过渡越陡峭。

- 特点： - 理想低通滤波器简单直接，但会产生振铃效应。

- 高斯低通滤波器过渡平滑，无振铃效应，能有效去除高频噪声，使图像平滑。

- 巴特沃斯低通滤波器可通过调整阶数控制过渡带的陡峭程度，性能介于理想和高斯低通滤波器之间。

def ideal_lowpass_filter(shape, cutoff):
    rows, cols = shape[:2]
    center = (rows // 2, cols // 2)
    mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)
    cv2.circle(mask, center, cutoff, 1, -1)
    return mask

def gaussian_lowpass_filter(shape, cutoff):
    rows, cols = shape[:2]
    center = (rows // 2, cols // 2)
    x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
    dist = np.sqrt((x - center[0]) ** 2 + (y - center[1]) ** 2)
    mask = np.exp(-(dist ** 2) / (2 * (cutoff ** 2)))
    return mask

def butterworth_lowpass_filter(shape, cutoff, order):
    rows, cols = shape[:2]
    center = (rows // 2, cols // 2)
    x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
    dist = np.sqrt((x - center[0]) ** 2 + (y - center[1]) ** 2)
    mask = 1 / (1 + (dist / cutoff) ** (2 * order))
    return mask

def apply_filter(image, filter_func, *args):
    gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_RGB2GRAY)
    fshift = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(gray_image))
    mask = filter_func(gray_image.shape, *args)
    filtered = fshift * mask
    result = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(filtered))
    return np.abs(result)

# 应用低通滤波器
ideal_lp = apply_filter(image, ideal_lowpass_filter, 30)
gaussian_lp = apply_filter(image, gaussian_lowpass_filter, 30)
butterworth_lp = apply_filter(image, butterworth_lowpass_filter, 30, 2)

plt.figure(figsize=(12, 4))
for i, (img, title) in enumerate(zip([ideal_lp, gaussian_lp, butterworth_lp],
                                      ['理想低通滤波', '高斯低通滤波', '巴特沃斯低通滤波'])):
    plt.subplot(1, 3, i + 1), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title(title), plt.axis('on')
plt.show()

3. 高通滤波器：

- 原理：通过从全通滤波器（值全为1的掩码）中减去对应的低通滤波器掩码来得到高通滤波器掩码，使得低频部分被抑制，高频部分得以通过。

- 特点：突出图像中的边缘和细节信息，因为边缘和细节通常对应高频成分，常用于图像锐化处理。

def highpass_filter_from_lowpass(lowpass_filter):
    return 1 - lowpass_filter

# 应用高通滤波器
ideal_hp = highpass_filter_from_lowpass(ideal_lowpass_filter(image.shape, 30))
gaussian_hp = highpass_filter_from_lowpass(gaussian_lowpass_filter(image.shape, 30))
butterworth_hp = highpass_filter_from_lowpass(butterworth_lowpass_filter(image.shape, 30, 2))

ideal_hp_result = apply_filter(image, lambda *args: ideal_hp)
gaussian_hp_result = apply_filter(image, lambda *args: gaussian_hp)
butterworth_hp_result = apply_filter(image, lambda *args: butterworth_hp)

plt.figure(figsize=(12, 4))
for i, (img, title) in enumerate(zip([ideal_hp_result, gaussian_hp_result, butterworth_hp_result],
                                      ['理想高通滤波', '高斯高通滤波', '巴特沃斯高通滤波'])):
    plt.subplot(1, 3, i + 1), plt.imshow(img, cmap='gray')
    plt.title(title), plt.axis('on')
plt.show()

4. 同态滤波：

- 原理：先对图像进行对数变换，将图像的光照分量和反射分量分开（在频域中），然后应用一个滤波器，该滤波器对低频和高频有不同的增益调整，最后进行指数变换恢复图像。

- 特点：可以同时增强图像的对比度和细节，改善图像的视觉效果，尤其适用于光照不均匀的图像。

def homomorphic_filter(image, gamma_l=0.5, gamma_h=2.0, cutoff=30):
    gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_RGB2GRAY)
    image_log = np.log1p(np.array(gray_image, dtype="float"))
    fshift = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(image_log))

    rows, cols = gray_image.shape
    center = (rows // 2, cols // 2)
    x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
    dist = np.sqrt((x - center[0]) ** 2 + (y - center[1]) ** 2)
    mask = (gamma_h - gamma_l) * (1 - np.exp(-(dist ** 2) / (2 * (cutoff ** 2)))) + gamma_l

    filtered = fshift * mask
    result = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(filtered))
    return np.expm1(np.abs(result))

homomorphic_result = homomorphic_filter(image)
homomorphic_result = np.clip(homomorphic_result, 0, 255).astype(np.uint8)

plt.imshow(homomorphic_result, cmap='gray')
plt.title('同态滤波'), plt.axis('on')
plt.show()

5. 陷波滤波： - 原理：在频谱中指定一些中心位置（陷波中心），以这些中心为圆心，在一定半径（截止频率）内创建滤波器掩码，将这些位置的频率成分去除或衰减。

- 特点：可以有针对性地去除或衰减图像中特定频率的噪声或干扰成分，保留其他频率信息，常用于去除周期性噪声等特定场景。 

def notch_filter(shape, cutoff, notch_centers):
    rows, cols = shape[:2]
    mask = np.ones((rows, cols), np.uint8)
    for center in notch_centers:
        cv2.circle(mask, center, cutoff, 0, -1)
    return mask

notch_centers = [(100, 100), (200, 200)]  # 示例陷波位置
notch = notch_filter(image.shape, 10, notch_centers)

filtered_notch = apply_filter(image, lambda *args: notch)
plt.imshow(filtered_notch, cmap='gray')
plt.title('陷波滤波'), plt.axis('on')
plt.show()