四元数变化率微分方程推导

三元欧拉角存在万向锁问题，不适用于所有情况下确定pose。因此利用四元数四个变量来代替$\delta \theta$的三个分量，可以在所有环境下确定姿态。
下面推导绕三个正交轴的角速度函数的四元数变化率微分方程。基于此能以t时刻的四元数计算t+$\delta$t时刻的四元数值。假定$\cos {\alpha }_r,\cos {\alpha }_p,\cos {\alpha }_y$为相对于roll轴，pitch轴，yaw轴的实际方向余弦，经过小角度旋转$\delta {\theta }_b$，对应四元数$q^{\prime }$如下：
$$\begin{array}{rl}{q}_1^{\prime }& =\cos {\alpha }_r\sin (\delta {\theta }_b/2)\\ q_2^{\prime }& =\cos {\alpha }_p\sin (\delta {\theta }_b/2)\\ q_3^{\prime }& =\cos {\alpha }_y\sin (\delta {\theta }_b/2)\\ q_4^{\prime }& =\cos (\delta {\theta }_b/2)\end{array}$$
其中旋转轴$\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(\cos {\alpha }_r,\cos {\alpha }_p,\cos {\alpha }_y)$，旋转角为$\delta {\theta }_b$

且该四元数为单位四元数。
$$q(t+\delta t)=q^{\prime }q(t)$$
将四元数$q^{\prime }$记为$q_1^{\prime }\hat{i}+q_2^{\prime }\hat{j}+q_3^{\prime }\hat{k}+q_4^{\prime }$，四元数q(t)记为$q_1\hat{i}+q_2\hat{j}+q_3\hat{k}+q_4$，二者相乘结果如下：
q(t+δt)=(q1′i^+q2′j^+q3′k^+q4′)(q1i^+q2j^+q3k^+q4)=(q4′q1+q3′q2−q2′q3+q1′q4)i^+(−q3′q1+q4′q2+q1′q3+q2′q4)j^+(q2′q1−q1′q2+q4′q3+q3′q4)k^+(−q1′q1−q2′q2−q3′q3+q4′q4)\begin{aligned} q(t+\delta t) = &(q'_{1}\hat{i}+q'_{2}\hat{j}+q'_{3}\hat{k}+q'_{4})(q_{1}\hat{i}+q_{2}\hat{j}+q_{3}\hat{k}+q_{4})\\ =&(q'_{4}q_{1}+q'_{3}q_{2}-q'_{2}q_{3}+q'_{1}q_{4})\hat{i}+\\ &(-q'_{3}q_{1}+q'_{4}q_{2}+q'_{1}q_{3}+q'_{2}q_{4})\hat{j}+\\ &(q'_{2}q_{1}-q'_{1}q_{2}+q'_{4}q_{3}+q'_{3}q_{4})\hat{k}+\\ &(-q'_{1}q_{1}-q'_{2}q_{2}-q'_{3}q_{3}+q'_{4}q_{4}) \end{aligned}q(t+δt)==​(q1′​i^+q2′​j^​+q3′​k^+q4′​)(q1​i^+q2​j^​+q3​