17、汉诺塔谜题的多样变体

汉诺塔谜题的多样变体

汉诺塔（TH）是一种单人游戏，也就是所谓的纸牌游戏。除了汉诺塔，还有许多其他的数学纸牌游戏，如icosian游戏、十五拼图和魔方等。汉诺塔也有众多变体，有些变体很自然，有些则不然。

1. 汉诺塔变体的定义

为了明确哪些汉诺塔变体是我们所关注的，我们定义其框架如下：任何汉诺塔变体都由柱子和圆盘组成，圆盘可以堆叠在柱子上，并且遵循以下共同规则：
1. 柱子是可区分的。
2. 圆盘是可区分的。
3. 圆盘除了移动时，始终都在柱子上。
4. 一个或多个圆盘只能从堆栈顶部移动。
5. 任务：给定圆盘在柱子间的初始分布（初始状态）和目标分布（最终状态），找到一个最短的移动序列，使圆盘从初始状态转移到最终状态，并遵守规则。

尽管上述规则看似限制较多，但它们提供了大量不同的变体可能性，例如：
- 柱子的数量可以任意（我们已经看到过）。
- 柱子也可以通过其高度（即能容纳的圆盘数量）来区分。
- 圆盘可以通过大小和/或颜色来区分。
- （某些）不规则（相对于汉诺塔规则）的状态可能被允许。
- 一次移动中可以移动多个顶部圆盘。
- 移动可能有额外的限制或放宽条件，后者甚至可能违反“神的规则”。
- 当然，也可以是上述情况的任意组合。

对这些变体的兴趣可以追溯到Lucas，他提出了一个有五个柱子和四组不同颜色圆盘的变体。每个柱子可以容纳所有圆盘，每组有四个圆盘，16个圆盘的大小两两不同。颜色为 $c \in [4]$ 的组由四个圆盘 $d \in [16]$ 组成，其中 $1 + (16 - d) \mod 4 = c$。一个可能的任务是将所