数据结构 树笔记-3 完全二叉树的性质

完全二叉树的性质

1.给定完全二叉树的总结点数，求树高

k层完全二叉树的各层结点数：

第1层——1=1

第2层——2^1=2

第3层——2^2=4

......

第k-1层——2^（k-2）

第k层——1 ~ 2^（k-1）

所以k层完全二叉树的总结点数最少是[2^0+2^1+......+2^（k-2）]+1=[2^（k-1）-1]+1=2^（k-1）

所以k层完全二叉树的总结点数最多是2^0+2^1+......+2^（k-1）=[2^（k-1）-1]+1=2^k-1

而

2^（k-1）以2为底向下取对数 等于 k-1，k-1+1=k这才是完全二叉树的层数

2^k-1以2为底向下取对数 等于 k-1，k-1+1=k这才是完全二叉树的层数

所以，如果给定一棵完全二叉树的总结点数n，通过表达式“对n以2为底取对数并向下取整+1”就可以得到它的高度。

 

2.

对一棵结点总数是n的完全二叉树从上至下，从左至右进行1-n编号

根结点的下标一定要是1不是0，才能保证编号是2i和2i+1的结点是编号为i的结点的左孩子和右孩子

    如果编号是i的结点有左孩子，那么这个结点的左孩子编号是2i

如何判断有左孩子：

2i > n，说明编号是i的结点没有左孩子

2i=n 或者 2i<n，说明编号是i的孩子有左孩子

如果编号是i的结点有右孩子，那么这个结点的左孩子编号是2i+1

如何判断有右孩子：

2i+1 > n，说明编号是i的结点没有右孩子

2i+1=n 或者 2i+1<n，说明编号是i的孩子有右孩子

 

反之，编号是i的结点的父结点编号是（i/2）结果向下取整

说明：

如果i是整型数，那么

（i/2）结果向下取整 = i/2

如果i是浮点型如float或者double，那么

    （i/2）结果向下取整 = i/2的整数部分

     这个性质用于把一棵完全二叉树存放在一个一维数组中，这样可以通过对数组元素下标的操作来操作这棵树