二叉树和完全二叉树的性质

1.第i层至多有2^{i-1}个结点(i>=1)

2.深度为k的二叉树至多有2^{k}-1个结点(k>=1)

3.叶子结点数为n_{0},度为2的结点数为n_{2},则n_{0}=n_{2}+1。(证明:证明:n_{0}n_{0}+n_{1}+n_{2}=n_{1}+2n_{2}+1

下面是完全二叉树的性质

特点:叶子结点在层次最大的两层出现;对于任意结点,右分支下的子孙的最大层次为k,左分支下的子孙的最大层次比为k或k+1.

4.n个结点的完全二叉树的深度为int_down(log_{2}n)+1。

5.将完全二叉树自顶而下,同一层自左向右编号,则有:

  • 如果i=1,i为根,无双亲;如果i>1,双亲为结点int_down(i/2)
  • 如果2i<=n,结点i的左孩子为结点2i;否则无左孩子
  • 如果2i+1<=n,结点i的右孩子为结点2i+1,否则无右孩子
  • 结点i所在的层次为int_down(log_{2}i)+1
  • i为奇数,且i!=1,i处于右兄弟的位置,它的左兄弟为结点i-1
  • i为偶数,且i!=n,i处于左兄弟的位置,它的右兄弟为结点i+1
二叉树完全二叉树是两种不同的二叉树结构,它们有一些区别性质。 1. 定义: - 二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树结构。 - 完全二叉树是一种二叉树,除了最后一层的叶子节点可以不满外,其它层的节点数都达到最大,并且叶子节点都集中在最左边的连续位置。 2. 结构特点: - 二叉树的节点可以有左子节点、右子节点,或者两个子节点都有,也可以没有子节点。 - 完全二叉树的节点从上到下,从左到右依次排列,不存在空缺的位置。 3. 节点数量: - 二叉树的节点数量没有限制,可以是任意数量。 - 完全二叉树的节点数量与其深度相关,设深度为h,则节点数量在 2^(h-1) 到 2^h - 1 之间。 4. 高度: - 二叉树的高度取决于最长路径上的节点数。 - 完全二叉树的高度取决于节点数量,设节点数量为n,则高度为 log2(n+1)。 5. 子树性质: - 二叉树的任意节点都可以看作是根节点,有左子树右子树。 - 完全二叉树的任意节点都可以看作是根节点,只有最后一层的叶子节点可能没有子树。 6. 存储结构: - 二叉树可以使用链式存储或数组存储来表示。 - 完全二叉树通常使用数组存储来表示,可以通过索引计算得到节点的父节点、左子节点右子节点。 总结:完全二叉树是一种特殊的二叉树,其节点排列有一定规律,而二叉树的结构则更加自由。
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