高等数学-定积分

1，定义

设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入诺干个分点$a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$，
把区间分成n个小区间
$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]$，
各个小区间的长度依次为
$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}.$
在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点${\epsilon }_i({\epsilon }_i\in [x_{i-1},x_i])，作函数值f({\epsilon }_i)与小区间\Delta x_i的乘积f({\epsilon }_i)\Delta x_i，并求和$
$S={\sum }_{i=1}^{n}f({\epsilon }_i)\Delta x_i，$
记λ=max{Δx1,Δx2,...,Δxn}\lambda=max\{\Delta x_1, \Delta x_2,...,\Delta x_n\}λ=max{Δx1​,Δx2​,...,Δxn​},如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间$[x_{n-1},x_n]上点{\epsilon }_i怎么选取，只要当\lambda \to 0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作f(x)={\int }_a^{b}f(x)dx.$
用符号表示为
${\int }_a^{b}f(x)dx=I={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\epsilon }_i)\Delta x_i，$其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。

2，定积分存在准则

2.1 如果f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上可积。
2.2 如果函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在该区间上可积。

3，定积分的性质

3.1 设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则
$m(b-a)<={\int }_a^{b}f(x)dx<=M(b-a)$;
3.2 定积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]上至少存在一点$\epsilon ，使得下式成立：$
${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\epsilon )(b-a)$。
积分中值定理的几何解释：在区间[a,b]上至少存在一点$\epsilon$，使得以区间[a,b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为$f(\epsilon )$的一个矩形的面积。

4，牛顿-莱布尼兹公式

如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$
上式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a,b]上的增量。

5，反常积分的定义

5.1 积分区间为无穷区间；
5.2 被积函数为无界函数。
通常要通过一些审敛法，来判断反常积分是否收敛。

6，$\Gamma 函数$

6.1 定义
$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx，$(s>0)。
6.2 递推公式
$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$
$\Gamma (n+1)=n!$
6.3 $当s\to 0^{+}时，\Gamma (s)\to +\infty$.
6.4 余元公式
$\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{sin(\pi s)}$.