矩阵基本运算

最新推荐文章于 2025-05-15 13:13:16 发布

JasonKQLin

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分类专栏：线性代数文章标签：矩阵基本运算

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本文深入讲解了矩阵运算的基本法则，包括矩阵的加减乘运算、转置矩阵、逆矩阵及行列式的运算规则，并探讨了共轭矩阵的特性，是理解和掌握矩阵运算不可或缺的参考资料。

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1，矩阵相关运算

矩阵的运算满足分配律和结合律，不满足交换律。
设A、B和C为3个矩阵， $λ\lambda$ 为实数，
则
1.1 $A (B + C) = A B + A C$
1.2 $A B C = (A B) C = A (B C)$
1.3 $λ(A+B)=λA+λB\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
1.4 $λAB=A(λB)\lambda AB=A(\lambda B)$

2，转置矩阵相关运算

2.1 $A+B)^T=A^T+B^T$
2.2 $(λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T$
2.3 $AB)^T=B^TA^T$
若 $A=A^T，则称矩阵A为对称阵（隐含条件为A是方正，单位方阵为对称阵）$

3，方阵的逆矩阵相关运算

若BA=AB=E（A和B为同阶方阵，E为单位方阵），则称A和B互为逆矩阵，记作 $B=A^{-1}$ 。

方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为0。

3.1 若方阵A可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $A^{-1})^{-1}=A$
3.2 若方阵A可逆， $λ\lambda$ 为实数，则 $λA\lambda A$ 也可逆，且 $(λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
3.3 若方阵A和B均可逆且同阶，则AB也可逆，且 $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

对于非方阵，有广义逆的定义。

4，方阵的行列式相关运算

4.1 $A^T|=|A|$
4.2 $∣λA∣=λn∣A∣|\lambda A|=\lambda^n|A|$ （假设A为n阶）
4.3 $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣$

5，共轭矩阵的性质

若A、B都是复矩阵， $λ为复数\lambda为复数$ ，
则
5.1 $A+B‾=Aˉ+Bˉ\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$
5.2 $AB‾=AˉBˉ\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$
5.3 $λA‾=λˉAˉ\overline{\lambda A}=\bar{\lambda}\bar{A}$