中国剩余定理(孙子定理)

给出一元线性同余方程组:

$$\left\{ \begin{array}{c} x\equiv a_1 &mod{\ \ \ m_1}\\ x\equiv a_2 &mod{\ \ \ m_2}\\ \vdots\\ x\equiv a_n &mod{\ \ \ m_n} \end{array} \right.$$
其中$m_1,m_2,\cdots,m_n$两两互质。
根据中国剩余定理,则方程组一定有解。
设$M=m_1m_2\cdots m_n,M_i=\frac{M}{m_i}$
则方程在模$M$意义下的唯一解为:
$$x=a_1M_1M_1^{-1}+a_2M_2M_2^{-1}+\cdots+a_nM_nM_n^{-1} \tag{mod M}$$
其中$M_i^{-1}$为$M_i$模$m_i$意义下的数论倒数，即逆元
简略证明(不严谨)如下:
$M_iM_i^{-1}\equiv 1 \ \ \ \ \ \text{mod $m_i$}$
$a_iM_iM_i^{-1}\equiv a_i \ \ \ \ \ \text{mod $m_i$}$
$a_iM_iM_i^{-1}\equiv 0 \ \ \ \ \ \ \ \text{mod $m_j(j!=i)$}$
$\therefore x满足方程$
在这里只证明它的正确性，而略去了它的唯一性。
我会在以后补上。