树状数组 推广

大家都知道普通的树状数组的实现，
大致是这样的：

节点k，统计的叶子范围为：$[k - lowbit(k)+1, k]$
而每一个节点都只记录左儿子的信息,
我们能够查询的也就只是$[1,n]$的信息。
通常使用树状数组维护前缀和，但有时也能用来做一些看似只有线段树才能实现的功能。

区间更新

我们用前缀和维护每个位置的增加的值。
记$S[i]$表示$[i,n]$位置上的数都增加$S[i]$的值。
那么如果对$[l,r]$增加d,就$S[l]+d,S[r+1]-d$。
求和的话，设原数组为$A$，那么对$[l,r]$求和，
答案就是:

$$\begin{align} Ans&=\sum_{i=l}^r {(A[i]+(r-i+1)*S[i])}\\ & =\sum_{i=l}^r {A[i]}+\sum_{i=l}^r (r*S[i]-i*S[i]+S[i])\\ &=\sum_{i=l}^r {A[i]}+(r+1)\sum_{i=l}^r {S[i]}-\sum_{i=l}^ri*S[i] \end{align}$$
而现在上面的$\sum_{i=l}^r {A[i]},\sum_{i=l}^r {S[i]},\sum_{i=l}^r {i*S[i]}$都可以维护。
后面两个由于都只有单点的修改，即可使用树状数组。($i*S[i]$将要增加的值乘以i就行了)
下面再给出两个公式:
i节点的左儿子编号为:$i-\frac{lowbit(i)}{2}$
i节点的右儿子编号为:$i+\frac{lowbit(i)}{2}$
有了这两个公式,能够很方便地得到一个节点地左右儿子，
便可以类似线段树地方式实现很多功能。
未完待续。。。