POJ 3233 二分二分矩阵

最新推荐文章于 2021-07-20 09:58:16 发布

皮卡丘来了

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分类专栏：矩阵

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本文介绍了一种利用二分法和矩阵快速幂解决特定类型数学问题的方法。通过两次二分，一次针对矩阵的幂次，另一次针对求和项数，有效地降低了问题的复杂度。文中提供了一个C++实现示例，展示了如何使用矩阵乘法和加法来高效计算形如A+A^2+...+A^k的表达式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/*

 由于对二分的不熟练，这道题不知坑了多久... 
 这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。
 比如，当k=6时，有： A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
 应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。

*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<fstream>
#include<cmath>
using namespace std;
struct Matrix
{
    int a[32][32];
}a1;
int n,k,mod;
Matrix mult2(Matrix A,Matrix B){ /// 矩阵乘法
    Matrix C;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            C.a[i][j]=0;
            for(int k=0;k<n;k++){
                C.a[i][j] += A.a[i][k]*B.a[k][j];
                C.a[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return C;
}

Matrix add(Matrix A,Matrix B){ /// 矩阵加法
    Matrix C;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            C.a[i][j] = (A.a[i][j]+B.a[i][j])%mod;
        }
    }
    return C;
}

Matrix pow(Matrix a,int k){ /// 二分矩阵快速幂
    if(k == 1)return a;
    if(k % 2)return mult2(pow(a,k-1),a);
    return pow(mult2(a,a),k/2);
}

Matrix sum(int k){ /// 二分快速求和
    if(k<= 1)  return a1; 
    if(k % 2)  return add(sum(k-1) , pow(a1,k));
    else{
        Matrix temp = sum(k/2);
        return add(temp , mult2(temp,pow(a1,k/2)));
    }
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod) ;
    for(i =0; i < n;i++)
        for(j =0 ;j < n;j++)
            scanf("%d",&a1.a[i][j]);
    Matrix ans;
    ans = sum(k);
    for(i =0 ;i< n;i++) {
        for(j=0 ;j < n - 1;j++)
            printf("%d ",ans.a[i][j]);
        printf("%d\n",ans.a[i][j]);
    }
    return 0;
}
/*

2 2 4
0 1 
1 1

*/