POJ3233 矩阵幂求和

最新推荐文章于 2022-09-08 21:14:31 发布

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博客探讨如何解决POJ3233问题，即在n×n矩阵A中，求A^1+A^2+...+A^k的模m结果矩阵。通过二分快速幂和矩阵性质，降低时间复杂度，避免超时。对于偶数k，使用(1+1^(k/2))*(A^1+...+A^(k/2))，奇数k则在基础上加上A^k。还介绍了一种更高级的方法，构造B矩阵，其左上角在B^k后即为所求。

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给定三个参数n、k、m，n为矩阵的行数和列数，k表示最高次幂，m用于取模。

对于给定的矩阵A，要求输出A^1+A^2+……+A^k的结果矩阵。

求A^i可以使用二分快速幂，这个是足够快的了。

但k最大可以达到10^9，因此虽然题目只有一组数据，但直接一次循环也必然超时。

这里的求和可以采用二分的思想：

对于S=A^1+A^2+……+A^k

若k是偶数，则S=(1+1^(k/2))(A^1+A^2+……+A^(k/2))

若k是奇数，则S=(1+1^(k/2))(A^1+A^2+……+A^(k/2))+A^k

以上的k/2指的是程序中的除法，即舍弃小数的除法。

采用这种二分思想，可以大大减少时间复杂度，因此可以满足题目的要求。

应当注意的是这里要求的结果矩阵是每个元素模m之后的矩阵，可以在运算过程中可能超过m的时候判断一下，对m取模。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, m;
struct Matrix
{
	int x[31][31];
};

void matrixPrint(Matrix mat)	//打印矩阵
{
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			if (j > 0) printf(" ");
			printf("%d", mat.x[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

Matrix matrixMultiply(Matrix a, Matrix b)	//矩阵相乘
{
	Matrix ret;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			ret.x[i][j] = 0;
			for (int t = 0; t < n;