归纳法-心得笔记

1. “归纳”，是一种从经验事实中找出普遍特征的认知方法
2. 数学归纳法的一般步骤是这样的：证明基本情况（通常是 n=1 的时候）是否成立；假设 n=k−1 成立，再证明 n=k 也是成立的（k 为任意大于 1 的自然数）。
3. 和使用迭代法的计算相比，数学归纳法最大的特点就在于“归纳”二字。它已经总结出了规律。只要我们能够证明这个规律是正确的，就没有必要进行逐步的推算，可以节省很多时间和资源。
4. 数学归纳法中的“归纳”是指的从第一步正确，第二步正确，第三步正确，一直推导到最后一步是正确的。这就像多米诺骨牌，只要确保第一张牌倒下，而每张牌的倒下又能导致下一张牌的倒下，那么所有的骨牌都会倒下。
5. 从这里，你也能看出来，这和开篇提到的广义归纳法是不同的。数学归纳法并不是通过经验或样本的观察，总结出事物的普遍特征和规律。
6. 递归调用的代码和数学归纳法的逻辑是一致的。一旦你理解了数学归纳法，就很容易理解递归调用了。只要数学归纳证明的逻辑是对的，递归调用的逻辑就是对的，我们没有必要纠结递归函数是如何嵌套调用和返回的。
7. 从 k=63,62,…,2,1 的嵌套调用过程，其实就是体现了数学归纳法的核心思想，我把它称为逆向递推。而从 k=1,2,…,62,63 的值返回过程，和上一篇中基于循环的迭代是一致的，我把它称为正向递推。
8. 迭代法是如何通过重复的步骤进行计算或者查询的。与此不同的是，数学归纳法在理论上证明了命题是否成立，而无需迭代那样反复计算，因此可以帮助我们节约大量的资源，并大幅地提升系统的性能。