归纳法证明的例子

数学家发现能有一个简洁的公式来计算许多数的和是很有用处的。在本例中，挑战是找出计算前n个计数数的和的公式。

例如，只有第1个数的和是1，前2个数的和是3（即1＋2），前3个数的和是6（即1＋2＋3），前4个数的和是10（即1＋2＋3＋4），等等。

一个刻画这个模式的可能的公式是：
$Sum(n)＝\frac{1}{2}n(n＋1)$，

这里Sum（n）代表前n个自然数的和。换言之，如果我们想要找出前n个数的和，那么我们只要把那个数n代入上面的公式就可以得到答案。

用归纳法可以证明这个公式对直至无穷大的每一个数都成立。

第一步是证明这个公式对第1个情形，即n＝1，是成立的。这是很简单的，因为我们知道只有第1个数的和是1，而如果我们将n＝1代入这个可能的公式，得到的结果是正确的：
$Sum（n）＝\underset{2}{}$