看看这个矩阵求导是否正确呢？

$注：本文内容已解决，详见：$

https://blog.youkuaiyun.com/lgl123ok/article/details/121823906

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1. 问题

如何求下列表达式中的未知参数W？求偏导？
$$\min F(W)=\underset{w}{\min }\Vert (XW\circ \breve{D})B{\Vert }_F^2\text{\hspace{1em}(0)}$$
其中 $只有W是未知参数$，且$X\in R^{n\times m},W\in R^{m\times c},\breve{D}\in R^{n\times c},B\in R^{c\times c}$
同时$\circ$ 表示 Hadamard积，即矩阵按位乘（matlab的点乘）。

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经知乎 长躯鬼侠 大神指导，先将$结论$放这，过程后面再来研究下：

$$\frac{\partial F}{\partial W}=X^T(2SB{B}^T\circ \breve{D})=X^T(2(XW\circ \breve{D})B{B}^T\circ \breve{D})$$

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2. 我的推导方法

令$S=XW\circ \breve{D}$,则
$$\begin{gathered} F(W)=\Vert (XW\circ \breve{D})B{\Vert }_F^2 \\ =\Vert SB{\Vert }_F^2 \\ =tr(SB{B}^T{S}^T)\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
由于有$$\frac{\partial tr(XB{X}^T)}{\partial X}=X{B}^T+XB，\text{\hspace{1em}(2)}$$
所以
$$\frac{\partial F}{\partial S}=SB{B}^T+SB{B}^T=2SB{B}^T\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$\begin{gathered} \frac{\partial S}{\partial W}=\frac{\partial (XW\circ \breve{D})}{\partial W} \\ =\frac{\partial (XW)\circ \breve{D}+(XW)\circ \partial \breve{D}}{\partial W} \\ =\frac{\partial (XW)\circ \breve{D}+0}{\partial W} \\ =\frac{(\partial (X)W+X\partial W)\circ \breve{D}}{\partial W} \\ =\frac{(0+X\partial W)\circ \breve{D}}{\partial W} \\ =(XE)\circ \breve{D}\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
式4标红部分可能有大问题，但是不知道咋解决。

$在矩阵导数这块，好像有下面这个式子？$：
$$\frac{\partial F}{\partial W}=\frac{\partial S}{\partial W}\frac{\partial F}{\partial S}\text{\hspace{1em}(5)}$$
先假设有把，那：
$$\begin{gathered} \frac{\partial F}{\partial W}=\frac{\partial S}{\partial W}\frac{\partial F}{\partial S} \\ =2(XE)\circ \breve{D}SB{B}^T \\ =2(XE)\circ \breve{D}(XW\circ \breve{D})B{B}^T\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$

$推导好像不正确?，没法乘，式6第2个X前矩阵是n\times c的矩阵，之后的也是，没法乘到一起！$

或者猜测下：
式4应改写为：
$$\begin{gathered} \frac{\partial S}{\partial W}=\frac{\partial (XW\circ \breve{D})}{\partial W} \\ =\frac{\partial (XW)\circ \breve{D}+(XW)\circ \partial \breve{D}}{\partial W} \\ =\frac{\partial (XW)\circ \breve{D}+0}{\partial W} \\ =\frac{(\partial (X)W+X\partial W)\circ \breve{D}}{\partial W} \\ =\frac{(0+X\partial W)\circ \breve{D}}{\partial W} \\ =(X^{T}E)\circ \breve{D} \end{gathered}$$
然后式6改为
$$\begin{gathered} \frac{\partial F}{\partial W}=\frac{\partial S}{\partial W}\frac{\partial F}{\partial S} \\ =2(X^T(XW\circ \breve{D})B{B}^T)\circ \breve{D}\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

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下面内容暂时忽略，后面再来研究

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3. Q老师的推导思路

$$F(W)=\Vert (XW\circ \breve{D})B{\Vert }_F^2$$$$\frac{\partial F}{\partial W}=2(XW\circ \breve{D})B\frac{\partial [(XW\circ \breve{D})B]}{\partial W}\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$\begin{gathered} \frac{\partial [(XW\circ \breve{D})B]}{\partial W}=\frac{\partial (XW\circ \breve{D})B+0}{\partial W} \\ =\frac{[\partial (XW)\circ \breve{D}]B}{\partial W} \\ =\frac{[X\partial (W)\circ \breve{D}]B}{\partial W} \\ =XE\circ \breve{D}B\text{\hspace{1em}(8)} \end{gathered}$$

$$\frac{\partial F}{\partial W}=2(XW\circ \breve{D})BXE\circ \breve{D}B\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$\begin{gathered} 新的问题： \\ (1).6式和9式看着都是推导正确的，为什么不一致？哪一个才是正确的？ \\ (2).6式和9式都存在无法运算的问题，即第2个X前是n\times c,后面也是n\times c。这是啥情况呢，哪儿错了？ \end{gathered}$$