一个F范数对矩阵求导例子 1

==PART1 ==

1. 问题

如何求下列表达式中的未知参数W？求偏导？
$$\min f(W)=\underset{w}{\min }\Vert (XW\circ \breve{D})B{\Vert }_F^2\text{\hspace{1em}(0)}$$
其中 $只有W是未知参数$，且$X\in R^{n\times m},W\in R^{m\times c},\breve{D}\in R^{n\times c},B\in R^{c\times c}$
同时$\circ$ 表示 Hadamard积，即矩阵按位乘（matlab的点乘）。

2. 推导过程

令$S=XW\circ \breve{D}$,则
$$\begin{gathered} f(W)=\Vert (XW\circ \breve{D})B{\Vert }_F^2 \\ =\Vert SB{\Vert }_F^2 \\ =tr(SB{B}^T{S}^T)\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
由于有$$\frac{\partial tr(XB{X}^T)}{\partial X}=X{B}^T+XB，\text{\hspace{1em}(2)}$$
所以
$$\frac{\partial f}{\partial S}=SB{B}^T+SB{B}^T=$$