codevs1255 搭积木——记忆化搜索,或者dp

最新推荐文章于 2025-08-10 19:49:50 发布

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#搜索 #记忆化搜索 #dp

本文介绍了一种基于动态规划和记忆化搜索的积木搭建算法，用于寻找满足特定条件的积木堆叠方案总数及其具体排列组合。

1255 搭积木

一种积木搭建方式，高为H的积木，最底层有M个积木，每一层的积木数是他的低一层的积木数+1或-1。总共有N个积木。（且每行积木数不超过10）

比如下图N=13 H=6 M=2。

输入描述 Input Description
第一行为三个整数、N、H、M。

第二行以后每行一个整数K，-1为结束符。

输出描述 Output Description
第一行为满足N、H、M的积木搭建方案总数（1<=N<=540 H<=60 M<=10）

以后每一行对于对应的K，给出顺序排列的第K种方案（最小的排列为第一种）。

（如样例中，2 1 2 3 2 3是一种方案，代表一层的积木分别为212323，232321也是一种方案，212323比232321要小，每个状态之间是可比的，第一个数小的排前面，第一个数相等的就看第二个数。那么所有方案就有一个顺序了，这里的K就是求第K个按顺序排列的方案）

样例输入 Sample Input
13 6 2
1
3
-1

样例输出 Sample Output
3
2 1 2 3 2 3

2 3 2 3 2 1

题目分析：

本题从数据范围来看每层可以扩展2个节点，最多60层，可能达到2^60，直接搜索加上重复计算，再加上数据记录，应该超时，

考虑到每种状态可以扩展两种状态，或者每种状态都只能由两种状态扩展而来，具有最优子结构，可以用动态规划由底层到上层计算。

假设当前层为第h层，从第一层向上递推，结束点为f[h][m][m]

f[hi][ni][mi]代表第hi层，总数积木为ni ,当前层积木的个数为mi，从底层向上动态规划

开始的边界条件为 f[1][i][i]=1;

f[hi][ni][mi]=f[hi-1][ni-mi][mi-1]+f[ni][ni-mi][mi+1]

根据字典序，先扩展mi-1节点。

查找第k个方案的时候，根据节点左右关系，比左节点小向左找，否则向右找。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int n,h,m;
long long f[62][542][12]={0},k;//f[h][n][m]高度，总数，当前层积木个数
void dp(){
	int hi,ni,mi;
	for(mi=1;mi<=10;mi++)f[1][mi][mi]=1;
	for(hi=2;hi<=h;hi++)//h
	  for(ni=hi+1;ni<=n;ni++)//n
	    for(mi=1;mi<=10;mi++)//m		
	     if(ni-mi>=1){
	      f[hi][ni][mi]+=f[hi-1][ni-mi][mi-1];
	      if(mi<=9)f[hi][ni][mi]+=f[hi-1][ni-mi][mi+1];
	    }
}
void find(long long x,int hi,int ni,int mi){
	 printf("%d ",mi);
	 if(hi>=2)
	  if(x<=f[hi-1][ni-mi][mi-1])
	     find(x,hi-1,ni-mi,mi-1);
   	  else
   	     find(x-f[hi-1][ni-mi][mi-1],hi-1,ni-mi,mi+1);
	 
}
int main(){
   
	cin>>n>>h>>m;
	dp();
	cout<<f[h][n][m]<<endl;
	do{
		cin>>k;
		if(k==-1)break;
		find(k,h,n,m);
        printf("\n");
	}while(k!=-1);
return 0;
}

同理：也可以用记忆化化搜索，自定向下分拆，递归

6 13 2，两个分支：5 11 1， 5 11 3，先分解，计算，然后返回值。

注意1.已经计算过的顶点直接返回，做题的时候，直接用了f[][][]是否大于0判断记录，调试时候发现错了，需要另外定义一个vis,否则计算结果为0的节点将重复计算。

注意2：不可能的分支及时剪枝，原来只在两次dfs哪里小剪枝，很慢。重新思考后发现剪枝条件，ni/hi>10,ni/hi<1就不可能了，剪掉后很快，dp12ms ,搜索8ms。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,h,m;
bool vis[62][542][12]={0};
long long f[62][542][12]={0},k;//h,n.m
long long dfs(int hi,int ni,int mi){
  if(ni/hi>10||ni/hi<1)return  f[hi][ni][mi]=0;	
  if(vis[hi][ni][mi])return f[hi][ni][mi];
  else{
	if(hi==1){
	    vis[hi][ni][mi]=true;
	    if(ni==mi&&mi<=10)		
	       return f[hi][ni][mi]=1;
	    else
	      return f[hi][ni][mi]=0;
	}
	if(hi>=2){	
	    long long t=0;
	    if(mi-1>=1) 
	       t+=dfs(hi-1,ni-mi,mi-1);
	    if(mi+1<=10) 
	       t+=dfs(hi-1,ni-mi,mi+1);
	   vis[hi][ni][mi]=true;
	   return f[hi][ni][mi]=t;
	}
  }
}


void find(long long x,int hi,int ni,int mi){
	 printf("%d ",mi);
	if(hi>=2)
	  if(x<=f[hi-1][ni-mi][mi-1])
	     find(x,hi-1,ni-mi,mi-1);
   	  else
   	     find(x-f[hi-1][ni-mi][mi-1],hi-1,ni-mi,mi+1);
	 
}
int main(){
 
	cin>>n>>h>>m;
	dfs(h,n,m);
	cout<<f[h][n][m]<<endl;
	do{
		cin>>k;
		if(k==-1)break;
		find(k,h,n,m);
        printf("\n");
	}while(k!=-1);
return 0;
}