19、计算电磁学中的有限元方法：全离散格式与稳定性分析

计算电磁学中的有限元方法：全离散格式与稳定性分析

在计算电磁学领域，有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程。本文将详细介绍全离散格式的构建、稳定性分析以及误差估计。

1. 误差能量与半离散格式分析

首先，我们定义误差能量 (Q(t)) 为：
[Q(t) = \epsilon_0(||E_x||^2_E + ||E_y||^2_E) + \mu_0||H||^2_H ]
通过对相关方程进行处理，如将 (E_{x,i+\frac{1}{2},j}) 乘以方程 (9.36)，(E_{y,i,j+\frac{1}{2}}) 乘以方程 (9.37)，(H_{i+\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}) 乘以方程 (9.38)，并对所有 (i) 和 (j) 求和，再利用一些估计式，我们可以得到：
[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}Q(t) \leq \frac{C}{\delta} (h_x^2 + h_y^2)^2 + 2\delta Q(t)]
其中 (\delta > 0) 是一个待确定的小常数。

对上述不等式从 (t = 0) 到任意 (t \in (0, T]) 进行积分，可得：
[Q(t) \leq Q(0) + \frac{Ct}{\delta} (h_x^2 + h_y^2)^2 + 4\delta \int_0^t Q(s)ds \leq Q(0) + \frac{CT}{\delta} (h_x^2 + h_y^2)^2 + 4\delta T \max_{0\leq t\leq T} Q(t)]