11、高阶紧致差分方法与有限元方法基础

高阶紧致差分方法与有限元方法基础

高阶紧致差分方法

1. 公式推导与简化
   - 对某公式（5.75）两边乘以(6h^{2})并展开后，可简化为第4章得到的9点四阶格式（4.69）。具体展开过程为：
   • 原公式（5.75）两边乘以(6h^{2})后得到：
     (-[6(u_{i + 1,j}-2u_{ij}+u_{i - 1,j})+6(u_{i,j + 1}-2u_{ij}+u_{i,j - 1})+(u_{i + 1,j + 1}-2u_{i,j + 1}+u_{i - 1,j + 1})-2(u_{i + 1,j}-2u_{ij}+u_{i - 1,j})+(u_{i + 1,j - 1}-2u_{i,j - 1}+u_{i - 1,j - 1})]=6h^{2}s_{ij}-\frac{h^{2}}{2}[(s_{i + 1,j}-2s_{ij}+s_{i - 1,j})+(s_{i,j + 1}-2s_{ij}+s_{i,j - 1})])
2. 相关研究与拓展
   - 非均匀网格扩展 ：将紧致格式扩展到非均匀网格是可行的，但技术上较为复杂。
   - 组合紧致差分格式 ：为提高精度，提出了组合紧致差分格式，可同步求解一阶和二阶导数。
   - 高阶差分方法书籍 ：专门涵盖高阶差分方法的书籍较少。例如，Gustafsson等人提供了关于构建稳定差分格式的Fourier方法和能量方法的坚实数学理论；Cohen介绍了波动