学习笔记：数据结构与算法（十四）：图

图

定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G（V,E），其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

注意：

1. 图中数据元素称为顶点（Vertex）
2. 强调图的顶点集合V要有穷非空
3. 图中，任意两个顶点都可能有关系，逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

无向边：顶点V_i和V_j之间的边没有方向，用无序偶（V_i，V_j）表示；

无向边：顶点V_i和V_j之间的边有方向，也称为弧（Arc），用有序偶<V_i，V_j>表示；V_i称为弧尾，V_j称为弧头。

简单图：在图结构中，不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

无向完全图：无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*（n-1）/2；

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*（n-1）条边

稀疏图和稠密图：这里的稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的，通常认为边或弧数小于n*logn的是稀疏图。
权：有些图的边或弧带有与他相关的数字，带权的图称为网

子图：顶点包含，并且边也包含的，就称为子图。

其他的相关概念

1. 对于无向图G=(V, E),如果边(V₁, V₂)∈E，则称顶点V₁和V₂互为邻接点，即V₁和V₂相邻接。边(V₁, V₂)依附于顶点V₁和V₂，或者说边(V₁, V₂)与顶点V₁和V₂相关联。
2. 度：顶点V的度是和V相关联的边的数目，记作TD(V)
   
3. 对于有向图G=(V, E),如果弧<V₁, V₂>∈E，则称顶点V₁邻接点到顶点V₂顶点V₂邻接自顶点V₁。
4. 入度：以顶点V为头的弧的数目，记为ID(V)
   入度：以顶点V为尾的弧的数目，记为OD(V)
   度：TD(V) = ID(V) + OD(V)
   
5. 路径：无向图G=(V, E)中从顶点V₁到顶点V₂的路径
   
6. 如果G是有向图，则路径也是有向的。
7. 回路或环：第一个和最后一个顶点相同
8. 简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径

9. 连通图：在无向图G中，如果顶点V₁,和V₂有路径，则称V₁, V₂是连通的，如果图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。
   
10. 连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量。（注意：子图并且要连通）
11. 强连通图：有向图G，每一对顶点都存在路径。
12. 强连通分量：有向图中的极大连通子图称为连通分量。（注意：子图并且要连通）
    
13. 连通图的生成树：是一个极小的连通子图，包含图中全部的n的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
    
14. 有向树：有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树
    

图的存储结构

邻接矩阵（无向图）

用两个数组来表示，一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵，也是对称矩阵）存储图中的边或弧的信息。

邻接矩阵（有向图）

与无向图不同，有向图的邻接矩阵不对称。入度是列的和，出度为行的和

邻接矩阵（网）