图论基础与应用-优快云博客

1 定义

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，表示为G（V,E），其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
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若顶点v_i到v_j之间的边没有方向，则这条边为无向边，表示为（v_i，v_j）或（v_j，v_i），反之为有向边（或弧），表示为＜v_i，v_j＞，其中v_i称为弧尾，v_j称为弧头。若图中所有边都为无向边，则该图为无向图，反之若都为有向边，则为有向图。
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简单图：不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
无向完全图：任意两个顶点中都存在边的无向图。若顶点为n个，则边数为n(n-1)/2。
有向完全图：任意两个顶点中都存在边的有向图。若顶点为n个，则边数为n(n-1)。
稀疏图和稠密图：有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
权：与边或弧相关的数；带有权的图称为网
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相邻且有边直接连接的两个顶点称为邻接点，列如上图中，V1和V4是邻接点，但V2和V4不是，因为它们之间没有直接相连。在图中，顶点所连边的数目称为度，在有向图中，由于边有方向，则顶点的度分为入度和出度。可以看出，在无向图中，边数是所有顶点度数和的一半，而在有向图中，边数=入度和=出度和。

无向图中，从顶点v_i到顶点v_j的路径是一个顶点序列，路径的长度为经过的边或弧的数目。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中不出现重复的顶点称为简单路径。，除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复的路径称为简单回路。如图，左图为简单回路，而右图不是，因为顶点C出现了2次。
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2 连通图

在无向图中，如果两个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，那么该图为连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量，如图，图2和图3都是图1无向图的连通分量，但图4不是，因为其没有包含极大的顶点数。
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在有向图中，如果对于任意两个顶点v_i和v_j，都存在v_i到v_j和v_j到v_i的路径，则称那图为强连通图。在有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。如图左图不是强连通图，因为没有顶点D到顶点A的路径，而右图则是强连通图，其也是左图的强连通分量。
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一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有n-1条边。在一条生成树中添加一条边，则必然构成一个环，如果减少一条边，则是非连通图。如图图1为连通图，图2和图3都是图1的生成树，但图4不是，因为它不连通。
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若一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。如图，图2和图3是图1的生成森林。
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3 图的抽象数据类型

ADT{
	Data
		顶点的有穷非空集合和边的集合
	Opeartion
		CreateGraph(*G,V,VR)  //按照顶点集V合边弧集VR定义构造图G
		DestroyGraph(*G)      //销毁图G
		LocateVex(G,u)        //返回图G中顶点u的位置，若不存在，则返回其他信息
		GetVex(G,v)           //返回图G中顶点v的值
		PutVex(G,v,value)     //将图G中顶点v赋值value
		FirstAdjVex(G,*v)     //返回顶点v的一个邻接顶点，若无则返回空
		NextAdjVex(G,v,w)     //顶点w是顶点v的邻接顶点，返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点
							   //若顶点w是顶点v的最后一个邻接顶点，则返回空
		InsertVex(*G,v)		 //在图G种添加顶点v
		DeleteVex(*G,v)       //删除图G中顶点v及其相关的弧
		InsertArc(*G,v,w)     //在图G中添加弧<v,w>,如果是无向图，还要添加对称弧<w,v>
		DeleteArc(*G,v,w)	  //在图G中删除弧<v,w>,如果是无向图，还要删除对称弧<w,v>
		DFSTraverse(G)        //对图G进行深度优先遍历
		HFSTraverse(G)		 //对图G进行广度优先遍历
}