【动态规划】leetcode 746. 使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例1：

输入： cost = [10,15,20]
输出： 15
解释： 你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。

示例2：

输入： cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出： 6
解释： 你将从下标为 0 的台阶开始。

• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 6 。

提示

• $2<=cost.length<=1000$
• $0<=cost[i]<=999$

方法：动态规划

解题思路

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   dp[i] 的定义：达到第 i 个台阶所需的最小花费。（注意这里认为第一步是一定要花费）

2. 确定递推公式
   可以有两个途径得到 dp[i]，一个是 dp[i - 1]，一个是 dp[i - 2]。
   那么究竟是选 dp[i - 1] 还是 dp[i - 2]呢？
   一定是选最小的，所以 dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];

3. dp 数组如何初始化
   那么看一下递归公式，dp[i]由 dp[i - 1]，dp[i - 2] 推出，既然初始化所有的 dp[i] 是不可能的，那么只 初始化 dp[0] 和 dp[1] 就够了，其他的最终都是 dp[0]、dp[1]推出。

   所以初始化代码为： dp[0] = 0, dp[1] = 1;

4. 确定遍历顺序
   因为是模拟台阶，而且 dp[i] 又由 dp[i - 1]、dp[i - 2]推出，所以是从前到后遍历 cost 数组就可以了。

5. 举例推导 dp 数组
   拿示例 2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下 dp 数组的状态变化，如下：

   下标 i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   dp[i]	1	100	2	3	3	103	4	5	104	6

代码

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int n = cost.size();
        vector<int> dp(n); 
        dp[0] = cost[0], dp[1] = cost[1];
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
        }
        return min(dp[n - 1], dp[n - 2]);
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。