计算机中实数的浮点表示

最新推荐文章于 2024-02-28 22:32:48 发布
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分类专栏： 数值分析 c++ 文章标签： 数值分析 实数的浮点表示 浮点数计算机计算模型
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最近开始看数值分析的书籍，在此做些笔记！

本节介绍一个关于浮点数的计算机计算模型IEEE 754浮点标准。IEEE(电器和电子工程师协会)对于建立行业标准有着积极的兴趣，他们的浮点运算格式已经成为整个计算机行业中单精度和双精度运算的共同标准。

当使用有限精度的计算机存储单元来表示无限精度的实数时，舍入误差是不可避免的。尽管我们希望在很长的运算中产生的小误差对答案只会产生很小的影响，但是在很多情形下这事实上是一种一厢情愿的想法。

1.浮点格式

IEEE标准包含一组实数的二进制表示法。浮点数由三部分组成，即符号（sign，+或-）、尾数（mantissa，它包含一串有效数字）以及阶（即指数，exponent）。这三部分合一起就表示计算机中的浮点数。

浮点数由三种常用的精度等级，即单精度，双精度，加长精度。浮点数在这三种格式里的位数分别是32,64,80，每部分中位数的划分如下表：


位数划分
精度符号阶尾数
单1823
双11152
长双11564
这三类精度的用法实质上是相同的。IEEE浮点数的正规化形式是：啊，其中N个b中的每一位是0或是1，p是一个M位二进制数表示的指数。

当一个二进制数作为正规浮点数存储时最左边的1刚好位于小数点的左边，通过改变阶来调整移位。十进制9的二进制表示是1001，应该以飞洒这种形式存储。

我们只讨论双精度，其他类似。在由许多C编译程序和MatlAB使用的双精度中，M=11，N=52.

这是双精度1等于爱疯尾数0有52位。下一个比1大的浮点数等于爱疯或者是丰盛的

64位浮点数_详解二进制浮点数
weixin_39735509的博客
11-22 2744
例1： >>> 1.4 - 1.1 0.2999999999999998 为什么不是0.3？ 例2： 4.0 + 1e+16 - 1e+16 >>> 4.0 没错。 5.0 + 1e+16 - 1e+16 >>> 4.0 为什么5变成了4？ 4.0 + 1e+17 - 1e+17 >>> 0.0 为什么结果是0.0？ 4去哪...
计算机实数表示法---浮点数(一)
weixin_34186128的博客
02-20 6617
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...
《数值分析（原书第2版）》—— 0.3　实数的浮点表示
weixin_34297300的博客
07-04 2153
本节书摘来自华章出版社《数值分析（原书第2版）》一 书中的第0章，第0.3节，作者：（美）Timothy Sauer，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。 0.3　实数的浮点表示 在本节中，我们将描述浮点数的计算机算术模型.相关的模型有好几个，但是为了简化我们选择一个特定的模型并进行详尽描述.我们选择的模型被称为IEEE 754浮点标准...
浮点数在计算机的表示方法
aje46221的博客
03-15 346
一个哥们在qq群里问了一个关于浮点数的程序,然后行了行浮点数的知识.竟然忘了,所有找了些文章.回忆回忆,理解理解 首先来聊天他的问题和让我无言以对的解决办法吧 ""十六进制转负数浮点数怎么转换啊" 然后我默默的写了一个下面的东东 #include "stdafx.h" #include <iostream> #include <stdio.h> ...
计算机实数表示法---浮点数(二)
weixin_33759269的博客
03-08 903
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...
浮点数在计算机中是如何表示的
那些年的代码
06-11 6293
话题：浮点数在计算机中是如何表示的？ 回答：浮点数 浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2） 话题：浮点数的解释 回答：浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常...
实数中浮点数问题
ruoyecc的博客
07-05 1074
目录问题一：对于同样的尾数，阶码的值越大，则浮点数所表示的数值的绝对值就越大。 问题一：对于同样的尾数，阶码的值越大，则浮点数所表示的数值的绝对值就越大。 分析： 1.阶符： 当一个数用科学计数法表示时，它的指数的符号，指数是正还是负，正负号就是阶符。 计算机机内数，当用科学计数法表示时，分尾数，指数，阶符3部分，阶符占1位，负为1，正为0。 3.456e-03，就是 3.456 乘 10的负3次方，e后面的-号，就是阶符 正阶符，不写东西，或写+号。 3.456e03 就是 3.456 乘 10的正3次方
计算机中整数通常用,计算机常用 ? 数来表示整数和纯小数, 用?数来表示一般的实数．?处为填空题请大家帮助我解答．说的别太复杂好么?我看不懂,帮忙填个空好么?...
weixin_29331689的博客
07-25 617
2.1 数据表示2.1.1 信息、数字和字符的表示1．信息表示存储数据的逻辑部件有两种状态,即高电位和低电位,分别与"1"和"0"相对应.在计算机中,如果一种电位状态表示一个信息单元,那么一位二进制数可以表示两个信息单元.若使用2位二进制数,则可以表示4个信息单元；使用3位二进制数,可以表示8个信息单元.二进制数的位数和可以表示的信息单元之间存在着幂次数的关系.也就是说,当用n位二进制数时,可表示...
浮点数格式
moge19的专栏
06-20 8820
1、浮点数由“符号”、“指数”和“尾数”3部分构成： 2、float的规格化表示为：±1.f×2E−127±1.f×2^{E−127}±1.f×2E−127，其中，f是尾数，E是指数。以float为例： 比如十进制数123.125，其二进制表示为：1111011.001，规格化表示为：1.111011001×261.111011001×2^61.111011001×26也就是1.11101100...
浮点型数据在内存中的存储
Suk_god的博客
10-09 600
浮点型在内存中的存储浮点数的二进制表示基本表示方法IEEE754国际标准表示 浮点数的二进制表示 首先，计算机内存中存储的所有数据均以二进制的形式存在。那么，浮点数也不例外。要了解浮点数在内存中具体如何存储，首要问题是掌握浮点数二进制的表示方法。 基本表示方法 整数部分：除以2，商继续除以2，得到0为止，将余数逆序排列。 小数部分：乘以2，然后取出整数部分，将剩下的小数部分继续乘以2，然后再取整数部分，一直取到小数部分为零为止。如果永远不为零，则按要求保留足够位数的小数，最后一位做0舍1入。将取出的整数顺序
4-浮点数
forget_start的博客
02-28 1325
学习王争专栏浮点数总结。
实数是如何存储在计算机内部的
qisuo_01的博客
10-17 8841
实数是带有小数部分和整数部分的数字，也就是我们通常说的小数。      对于小数点，计算机采用了两种表示方法：定点表示法和浮点表示法 定点表示法：           整数可以被看作是小数点位置固定在最右边的数字，因此定点表示法用来存储整数，这种表示法中，小数点是假定的并不进行存储。           如果使用定点表示法来表示实数的话，结果会损失精度。           例如
实数的表示与比较
唯一今天最美好！
12-27 1895
计算机中实数的表示和比较 1. 实数的表示 定点法：小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置，小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，整数位数决定了实数的范围，小数位数决定了实数的精度。（嵌入式系统中应用） 浮点数表示： 利用科学技术法表示实数，实数由尾数(Mantissa),基数(Base),指数(Exponent),符号位组成，尾数中数字的个数称为精度。 IEEE
浮点数表示方法
Eugene的专栏
10-10 4537
浮点数表示方法，十进制与二进制相互转换
(知识汇总) 浮点数详解 (IEEE 754标准）
fang 0 jun的博客
04-01 1万+
【IEEE浮点数表示法】 IEEE 浮点数标准是从逻辑上用三元组{S，E，M}来表示一个数 V 的，即 V=（-1）S×M×2E 1，符号位 s（Sign）决定数是正数（s＝0）还是负数（s＝1），而对于数值 0 的符号位解释则作为特殊情况处理。 2，有效数字位 M（Significand）是二进制小数，它的取值范围为 1~2-ε，或者为 0~1-ε。它也被称为尾数位（Mantissa）、系数............
浮点数在计算机中的表示
lisheng19870305的专栏
02-20 6326
浮点数 1.1 浮点数在计算机中的表示 1.1.1 指数偏移值 1.1.2 规约浮点数[1] 1.1.3 非规约浮点数 1.2 单精度和双精度浮点数 1.3 浮点数转二进制 1.3.1 无小数浮点数转二进制表示 1.3.2 含小数浮点数转二进制表示 1.4 浮点数的精度 1.5 浮点数运算 1.5.1 浮点加减运算 1.5.2 浮点乘除运算 1.6 规约浮点数...
浮点数的存储方式
yolo_yyh的博客
03-06 1万+
目录 一、浮点数存储方式分类 二、浮点实数存储方式 2.1 如何把浮点数转为二进制数 2.2 为什么浮点数存在精度问题 三、double类型如何存储 为什么浮点数不适合比较大小和比较相等的操作？原先只听说跟浮点数的精度有关，浮点数为什么会有精度缺失问题？需要看一下浮点数在计算机中如何存储。 一、浮点数存储方式分类 在计算机发展过程中，出现了两类存储方式，分别是定点实数存储和浮点实数存储方式： 1、定点实数存储方式：约定整数位和小数位的存储长度，比如高两位放整数位，低两位存放小数位。 .
实数的浮点表示法临界值计算
My world
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数的定点表示和数的浮点表示
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数的定点表示： 小数点按照约定的形式给出。在计算机里面没有专门的硬件用来表示小数点， 所谓的小数点都是计算机体系设计人员按照约点的形式给出的。按照约定的方式， 可以将计算机分为两种：一种是小数点在数符后面数值前面， 一种是数值后面。如图： 前面这种称为小数定点机， 后面的称为整数定点机。 下面是这两种形式计算机的表示范围： 浮点表示： 为什么要引入浮点表示？ 1， 最早
计算机硬件中表示实数采取浮点表示，这种表示的来源是
最新发布
04-19
<think>好的，用户现在想了解计算机硬件中浮点数表示法的来源，特别是IEEE标准的背景。我需要结合之前的引用内容，以及用户之前的提问来组织回答。用户之前问过关于Intel存储顺序的问题，现在转向浮点数的历史，可能需要解释为什么需要标准化，以及IEEE 754是如何形成的。 首先，用户提供的引用[1]到[4]主要涉及浮点数的规格化、IEEE 754的结构、移码和指数计算等。这些内容可以作为技术细节的支撑。但用户现在关注的是“来源”，也就是历史背景和发展过程。 用户可能想了解在IEEE标准之前，不同厂商的浮点数实现有什么问题，为什么需要统一标准。可能需要提到早期计算机的不同表示方法导致的数据不一致，比如IBM的浮点格式与DEC的不同，这会引发兼容性问题。 根据引用[4]，提到了规格化和非规格化的概念，这可能与早期实现中的混乱有关。在制定IEEE 754之前，各厂商有自己的处理方式，导致程序移植困难。需要说明标准化的重要性。 另外，引用[3]提到移码的概念，这可能与指数部分的表示有关，而IEEE 754采用了移码来处理指数，这也是标准化的一个方面。需要解释移码在其中的作用，以及如何简化硬件设计。 还需要提到IEEE 754的制定时间和过程，比如1985年发布，由William Kahan等人的贡献。可能还要提到之前的尝试，比如Intel 8087浮点协处理器的设计对标准的影响。 用户可能对标准化带来的好处感兴趣，比如提高可移植性、精度控制、异常处理等。这些内容在引用[1]和[4]中有部分涉及，比如规格化的表示范围和偏置值的计算。 此外，需要联系用户之前的回答，比如小端序存储，但这里主要讨论浮点数的表示来源，可能不需要深入存储顺序，但可以提到标准中关于数据排列的规定是否与小端序有关，不过根据知识，IEEE 754主要定义格式，而不是字节顺序，字节顺序还是由处理器决定。 需要结构化回答，分点说明，来源背景、问题驱动、标准化过程、技术设计选择、影响等。确保引用相关的引用内容，比如提到规格化由指数E决定（引用[4]），以及IEEE的公式（引用[2]）。 最后，生成相关问题，可能涉及与其他标准的比较，现代应用，或者与之前存储顺序的联系。比如问IEEE 754如何解决兼容性问题，或者浮点数在内存中的存储形式是否受小端序影响。</think>### 分步解答：计算机硬件浮点数表示法的起源与IEEE标准 --- #### **一、浮点数表示法的历史背景** 1. **早期计算机的混乱局面（1980年前）** 在IEEE 754标准诞生前，计算机厂商（如IBM、DEC、Cray）各自定义浮点数格式，导致： - **兼容性问题**：不同系统的浮点计算结果差异显著，程序移植困难[^1]。 - **精度与范围不统一**：例如IBM的“十六进制浮点”与DEC的“二进制浮点”格式冲突[^2]。 2. **科学计算的需求驱动** 数值分析、物理模拟等领域要求**高精度、可预测的舍入行为**，而混乱的浮点实现难以满足需求。 --- #### **二、IEEE 754标准的诞生** 1. **标准化进程（1980-1985）** - **核心推动者**：计算机科学家William Kahan（“浮点之父”）主导设计[^3]。 - **目标**：统一格式、定义运算规则、解决硬件与软件兼容性。 - **里程碑**：1985年正式发布IEEE 754-1985标准，定义了单精度（32位）、双精度（64位）格式。 2. **核心技术创新** - **规格化与非规格化数**：通过指数位（E）区分规格化数（E不全0/1）、非规格化数（E全0）和特殊值（无穷大、NaN）[^4]。 - **偏置指数（移码）**：指数值`e = |E| - bias`（单精度bias=127），避免符号位处理，简化比较操作[^3][^4]。 - **隐式前导1**：规格化数尾数（M）隐含最高位1，节省存储空间[^1]。 --- #### **三、IEEE 754的技术细节与意义** 1. **浮点数的通用表示公式** $$ V = (-1)^S \times (1.M) \times 2^{E - \text{bias}} $$ - **S**：符号位（0正1负） - **M**：尾数（二进制小数部分） - **E**：移码编码的指数[^2][^4]。 2. **标准化带来的突破** - **可移植性**：不同硬件计算结果一致（如Intel x86与ARM处理器）。 - **精度控制**：强制要求基本运算（加减乘除）的舍入误差可控。 - **异常处理**：定义NaN（非数）、±∞等特殊值，避免程序崩溃[^1]。 --- #### **四、IEEE 754的现代影响** 1. **硬件全面支持** - 现代CPU（如Intel、AMD）内置符合IEEE 754的浮点单元（FPU）。 - GPU（NVIDIA CUDA、AMD RDNA）并行计算依赖标准浮点格式。 2. **软件生态依赖** - 编程语言（C/C++、Python）的浮点运算默认遵循IEEE 754。 - 科学计算库（NumPy、TensorFlow）依赖标准保证数值稳定性。 --- ### **最终答案** 计算机硬件浮点数表示法的**来源**可总结为： > 早期混乱的厂商实现推动了对统一标准的需求，IEEE 754通过**规格化设计**、**移码指数**和**隐式前导1**等技术，于1985年成为全球通用标准，解决了兼容性、精度与异常处理问题，奠定了现代计算的基础[^1][^3][^4]。 --- ### 相关问题 1. **IEEE 754如何解决不同厂商的浮点兼容性问题？** > 通过强制统一位字段定义（符号、指数、尾数）和运算规则（如四舍五入模式）[^4]。 2. **非规格化数（Denormalized Numbers）的作用是什么？** > 用于表示接近零的极小值，避免突然下溢为零，提升数值稳定性[^4]。 3. **IEEE 754标准是否定义字节存储顺序（大端/小端）？** > 否，字节顺序由硬件决定（如Intel小端序），标准仅关注位字段逻辑布局[^1]。
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