4-浮点数

学习王争专栏浮点数总结

目录

1，实数的二进制科学计数法

1）实数的概念

2）十进制的科学计算数

3）二进制的科学计数法

3-1）浮点数转换为二进制

二，实数二进制的存储：定点数

三，实数二进制的存储：浮点数

1）浮点数的公式：二进制科学计数法

2）浮点数公式详解。

2-1）符号位S

2-2）有效数字域M

2-3）指数域E

指数域值为0时：用来辅助表示浮点数0

指数域值为255时，用来表示无穷大或无效数NaN

四，浮点数的表示范围和精度

1）浮点数的表示范围

2）浮点数的精度（重）

3）浮点数整数能准确表示的整数范围以及最小正数（重）

五，浮点数的替代品：BigDecimal

1）为何使用BigDecimal

2）使用注意事项

六，double双精度的

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1，实数的二进制科学计数法

1）实数的概念

实数是一种概念，可以理解为小数。整数也可以看作是实数比如5，可以看作是5.0。

而在java中实数可以理解为float，double两种浮点数。

整数在计算机中是以补码的方式存储的，而实数在计算机中是以一种科学计算法进行存储的。

2）十进制的科学计算数

对于十进制的科学计算法，使用excel的应该都有过一串长数变成 1.23E6。这就是简化后的科学计数法。

正常如12300000000 科学计数法为 1.23* 10^10。而再省略则可以变成xEy这样的模式，即E代表10，而y表示指数。如上可以缩减为1.23E10。

3）二进制的科学计数法

首先二进制的科学计数法已经有一套规范文件：IEEE754标准。绝大多数计算机是以此为基础存储浮点数。

3-1）浮点数转换为二进制

假设对于一个小数如12.375，要将其转换为二进制，可以考虑将其整数和小数分别转换为二进制，再以'.'进行串联，最后转换成 1100.011这样的模式，而负数-12.375，则为-1100.011。

对于整数部份的转换比较简单，上一章也有写，主要写下小数部份使用的乘2取整数。

此方法王争的我没看明白，以知乎上看到的为例。

我们对十进制计算小数的时候，小数后的每一位都对应一个权值，1/10, 1/10^2, 1/10^3。

那么同理，二进制的小数后面的值也有对应的权值， 1/2， 1/2^2, 1/2^3.

那么以0.375为例，

先以0.375/（1/2），不够，那么此位为0

再以0.375/(1/2^2)，够，此位为1，剩下0.125

再以0.125/(1/2^3)，够且刚好相等，此位为1，结果

得到011，与整数一串联就是 1100.011.

但是此时上面的都是除，和乘2取整法无关，可以转换为(假设floor函数为计算当前位是否够的，即是否大于1的):小数点后第一位：floor(0.375/(1/2)) = floor(0.375/0.5) = floor(0.375 * 2) = floor(0.75) 小于1，此位为0

小数点后第二位：floor(0.75 /(1/2)) = floor(0.75 * 2) = floor(1.5) 够1，去掉1，剩下0.5. 为什么此处只/1/2，而不是/1/2^2，是因为第一步取的没有取出来

.....

再加上看的方便，可以直接取整。

另注意点：

上面的是可以除尽或乘尽的，但是有些是没有办法除尽的或除尽的，比如0.1

其小数点后的二进制为 00001 0001 0001，无限循环，这也是浮点数会精度缺失的原因。

二，实数二进制的存储：定点数

上面的存储方式，计算机还是没法看懂，可以用如下的定点数方式存储（点号是固定的）

第一位决定正负，然后固定的位数存储整数，固定的位数存取小数

但该方式还有个问题：

1，会浪费很多的存储空间，假如都是整数或小数

2，取值范围会很窄。比如整数部份是20位，那么最大的整数就是2^20。同样的4字节，比int范围小很多

三，实数二进制的存储：浮点数

为了有效利用空间，于是发明了浮点数，即点号在二进制中不固定的。

对应到java的就是float和double.

1）浮点数的公式：二进制科学计数法

公式：(-1)^S*M*2^E

其中S是符号位，0表示正数，1表示负数， M表示的是有效数字域，E表示的是指数域。

例如上面的12.375 可以表示为(-1)^0 * 1.100011*2^3。 其中S为0，

E为3 其二进制为 1000 0010 并不是0000 0011（具体的下面讲），

M为100011 完全体float的E是 1000 1100 0000 0000 0000 000 （前面是少了个1，具体的下面讲解）

2）浮点数公式详解。

都在float进行说明。

2-1）符号位S

对于S比较好理解，同整数一样的，用于表示符号位，根据公式，当为0时，刚好-1^0 为0，且示正，1时为-1，表示负数。

2-2）有效数字域M

有效数字域M。

因IEEE754规定，其整数必须为1，因此整数位可以不需要存储，只存储小数即可，整数位默认为1。

因此对于23位有效数字域的单点数浮点数float，实即有24位有效数字。

整数默认为1了，此时没法表示0了，此时使用指数域来表示，当E为0时，IEEE754规范要求，从有效数字域读取的二进制位不需要在前面添加1.

2-3）指数域E

指数域没有使用原码或补码来存储，float的指数域的范围是[-126, 127]。这里需要说明一下，指数域没有使用原码与反码，也就没有符号位这一说。 指数域是8位，实际范围是0-255 （0000 0000 -- 1111 1111）。但是0-255没有办法表示负数，因此存储的时候都需要对值进行+127操作，这也是上面的值为什么是1000 0010 并不是0000 0011的原因，而当使用时，就需要-127。此时还有两个值0与255不在其范围中，这两个值有特殊用处

先看一下-12.375的二进制科学法的表示。

指数域值为0时：用来辅助表示浮点数0

有效数字域M。默认整数位1，那么就无法表示0时的情况了。

那么当指域数值为0时，就不再有效数字域的二进制位前加1，即实现了整数位的默认0.

此时如果有效数字域M里的值全为0，指数域E也为0，那么就表示浮点数0了。

指数域值为255时，用来表示无穷大或无效数NaN

当指数域值为255时，如果M有效数字域里的值全为0，那么当S为0时表示正无穷大，S值为1时，表示负无穷大。

如果M的数字域里的值不为0，那么表示无效数NaN。

Java jdk里Float里的，可以用来表示正无穷和负无穷以及无效数Nan

public static final float POSITIVE_INFINITY = 1.0f / 0.0f;

public static final float NEGATIVE_INFINITY = -1.0f / 0.0f;

public static final float NaN = 0.0f / 0.0f;

四，浮点数的表示范围和精度

1）浮点数的表示范围

浮点数有效位最大情况下为23位全是1，加上整数的1。为1.11111

而指数位的范围为-126-127.

那么最大值为1.111....1111*2^127

最小值为-1.1111.111*2^127

比同为4字节的int大的多，比long都大

但是牺牲了精度，很可能会有不同的整数最终存为float的是一样的。

根据鸽笼原理，32个bit，最多存储2^32个实数，表达范围大了，必然有重复的。

2）浮点数的精度（重）

浮点数的有效位是24位，那么如果要表达的数的个数超过了24位，那么就就会做出取舍（不是直接截取，特有的四舍五入）。就会导致精度丢失。

3）浮点数整数能准确表示的整数范围以及最小正数（重）

1，整数范围

因为有效位是24位，无符号位，那么最多能表示的数据为2^24个，范围则为0-2^24-1，负数则为 -2^24+1 - 0。所以完整的范围为 -2^24 + 1 ~~ 2^24 - 1。

后续的则是在此基础上*2，除2，或者根据浮点数的截取方式定。

如果截图完整一段，那么对于2的整数倍的数是可以准确表示的，但现在并不确定是怎么截取（没有深入研究了）。

2，最小正数

E的取值范围为-126-127，要最小取-126

M最小的值为1.000，即23位上全是0

因此最小正数为1*2^-126。

五，浮点数的替代品：BigDecimal

1）为何使用BigDecimal

浮点数容易精度丢失，而BigDecimal不会。在BigDecimal中整数位与小数位是分开计算的。

2）使用注意事项

不能传入float来构造，因为在float传入时精度就丢失了，需要传入的是字符串。

六，double双精度的

暂时理解为，除了范围变大了，内核是一样的。只是能精准表示出来的值更多了。

粗略算了下，E的域为0 ~ 2047 （无符号位）

那么有效范围为-1022 ~ 1023。float是加127，double为1023.

float的0对应double的0

float的255对应double的2047.

双精度double有效位M为52+1的有效位，精度大很多。

而指数域