HDU 1114 Piggy-Bank（完全背包动态规划+变形）

原题地址

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

题意：给定一个存钱罐的重量M，已知里面存放的货币种类可能有N种，每种货币都有重量w和金额v，求该存钱罐里存放的最少金额（存钱罐必须装满）。

解题思路

最近在复习背包问题，在上一题里复习了【0-1背包的动态规划】，这一题来复习完全背包的动态规划解法，但是这一题不是裸题，有两处变形。

首先看完全背包的经典问法（字母可能不同）：

　　有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
　　对于经典解法，《背包九讲》里的讲解最清晰易懂，复习请移步【背包九讲2.0】~~~

完全背包裸题的核心代码如下：

void dp_pack(int n, int M) //非满完全背包的最大价值
{
    int i, j;
    //初始化
    for (j = 0; j <= M;++j)
        dp[j] = 0;
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        for (j = w[i]; j <= M; ++j) //注意完全背包j顺序的意义，0-1背包是j逆序
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    cout << dp[n][M];
}

看完《背包九讲2.0》的完全背包再来做这道题，会发现这道题有两处变形：

• 求背包的最小价值。

  • 将上述代码的max改为min即可（可是取min的话0当然是不装最小，难道全都是0？当然不是，这就涉及下面这个要求装满的变形）

• 存钱罐（背包）装满。

  • 这个问题的解决方法在【0-1背包的动态规划】的【初始化】中已经讨论过，思路就是在状态转移之前的初始化时，只让dp[0]=0，其余置为一个和∞有关的值。
  • 在0-1背包求装满时的最大价值的时候，dp[1..M]的值初始化为-∞，这样使求max的时候不会被选到；
  • 在0-1背包求装满时的最小价值的时候，dp[1..M]要初始化为+∞，这样求min的时候非法解的项不会被选到。

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 505;
const int maxm = 10005;
const int INF = 0x3f3f3f;

int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxm]; //空间优化的一维数组

void solve(int n, int total_weight) //求装满的完全背包最小价值
{
    int i,j;
    //初始化,除dp[0]外其余都置无穷大
    dp[0] = 0;
    for (j = 1; j <= total_weight; ++j)
        dp[j] = INF;
    //满完全背包的最小问题
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        for (j = w[i]; j <= total_weight; ++j)
            dp[j] = min(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    if (dp[total_weight] != INF) //可以装满有解
        printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", dp[total_weight]);
    else cout << "This is impossible." << endl; //无法装满total_weight
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    int emp, full, types;
    while(T--)
    {
        cin >> emp >> full >> types;
        for (int i = 1; i <= types; ++i)
            cin >> v[i] >> w[i];
        solve(types, full-emp); //共types种物品，背包总重full-emp
    }
    return 0;
}

测试结果

题目中的三个测试用例对应的最终状态转移矩阵（已二维化）如下，右下角方格中的值为答案。

• M=101-1=100，N=2，(w,v) = (1,1)、(50,30)：
  

• M=101-1=100，N=2，(w,v) = (1,1)、(30,50)：
  

• M=6-1=5，N=2，(w,v) = (3,10)、(4,20)：