本文探讨了向量空间的概念，包括线性相关性、基、维数和秩。解释了如何判断向量组是否线性相关，以及线性组合、线性表示的条件。还阐述了向量组的秩与其最大线性无关向量组的关系，并讨论了不同向量组之间的等价性。
给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km，使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 k1a1+k2a2+⋯+kmam=0则称向量组 A A A是线性相关的，否则称它线性无关。
几何意义：2个向量是共线，3个向量是共面。
设 V V V为向量空间，如果 r r r个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a r ∈ V a_1,a_2,\cdots,a_r \in V a1,a2,⋯,ar∈V，且满足
- a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a1,a2,⋯,ar线性无关
- V V V中任一向量都可由 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a1,a2,⋯,ar线性表示
那么，向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a1,a2,⋯,ar就称为向量空间 V V V的一个基， r r r称为向量空间 V V V的维数，并称 V V V为 r r r维向量空间。
若把向量空间 V V V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知， V V V的基就是向量组的最大无关组， V V V的维数就是向量组的秩
设有向量组 A A A，如果在 A A A中能选出 r r r个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a
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