PCA主成分分析

最新推荐文章于 2025-06-16 16:39:41 发布
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分类专栏： 多元统计 文章标签： PCA 主成分分析 降维
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PCA（主成分分析）是一种降维方法，通过线性映射最大化方差，找到正交的低维向量。文章详细介绍了PCA的原理，包括构造映射、方差解释、缺点以及主成分与原变量的相关性，并提醒注意PCA输入数据的预处理。此外，还讨论了PCA在数据量小时可能被因子分析替代的情况。

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PCA主成分分析

PCA（principal components analysis）主成分分析是一种较老的一种应用于降维的方法，其目的是在于找到一种线性映射，将原始输入向量映射至较低维向量空间，同时使得向量间的方差最大（为了使得各向量能区分的更好）。并且，该线性映射不是普通的线性映射，而是正交的，使得映射后各维度正交以更好地解释。
下面来具体解释一下PCA的内部推导过程

原理篇

构造映射

根据我们的思路，假设我们的线性映射对应的向量为 ai a i 且正交,原向量为 xi x i ,经过映射后的向量为 yi y i ,原向量矩阵的协方差矩阵为 Σ Σ ,那么我们的目的可如下表示

yi=a′ixi y i = a i ′ x i
argmaxaiVaryi a r g m a x a i V a r y i
a′iai=1
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