元组演算 数据库

在一个公式中的一个元组变量前有全称量词$\forall$或存在量词$\exists$符号，则称该变量为约束变量，否则称之为自由变量。

1. 原子公式是公式
2. 如果${\phi }_1$和${\phi }_2$是公式，那么，$\neg {\phi }_1,{\phi }_1\vee {\phi }_2,{\phi }_1\wedge {\phi }_2,{\phi }_1⟹{\phi }_2$也都是公式，分别表示这样如下命题：$\neg {\phi }_1$ 表示${\phi }_1$不为真;${\phi }_1\vee {\phi }_2$表示${\phi }_1$或${\phi }_2$为真；${\phi }_1\wedge {\phi }_2$ 表示${\phi }_1$和${\phi }_2$都为真；${\phi }_1⟹{\phi }_2$表示若${\phi }_1$为真，则$varph{i}_2$为真。
3. 如果${\phi }_1$是公式，那么，$\exists t({\phi }_1)$是公式。$\exists t({\phi }_1)$表示这样一个命题若有一个$t$使${\phi }_1$为真，则$\exists t({\phi }_1)$为真，否则$\exists t({\phi }_1)$为假
4. 如果${\phi }_1$是公式，那么，$\forall t({\phi }_1)$是公式。$\forall t({\phi }_1)$表示这样一个命题若对所有的$t$使${\phi }_1$为真，则$\forall t({\phi }_1)$为真，否则$\forall t({\phi }_1)$为假

R ⋃ S = { t ∣ R ( t ) ∨ S ( t ) } R \bigcup S = \{t|R(t) \lor S(t)\} R⋃S={t∣R(t)∨S(t)}
R ⋂ S = { t ∣ R ( t ) ∧ ¬ S ( t ) } R \bigcap S = \{t|R(t) \land \neg S(t)\} R⋂S={t∣R(t)∧¬S(t)}
假定关系$R$有$n$个属性，关系$S$有$m$个属性，则$R\times S$后生成的新关系是$n+m$目关系，即$n+m$个属性，其元组演算表达式为：
R × S = { t ∣ ( ∃ u ) ( ∃ v ) ( R ( u ) ∧ S ( v ) ∧ t [ 1 ] = u [ 1 ] ∧ ⋯ ∧ t [ n ] ∧ t [ n + 1 ] = v [ 1 ] ∧ ⋯ ∧ t [ n + m ] = v [ m ] ) } {R \times S = \{t|(\exists u)(\exists v)(R(u) \land S(v) \land t[1] = u[1] \land \cdots \land t[n] \land t[n+1] = v[1] \land \cdots \land t[n+m] = v[m])\}} R×S={t∣(∃u)(∃v)(R(u)∧S(v)∧t[1]=u[1]∧⋯∧t[n]∧t[n+1]=v[1]∧⋯∧t[n+m]=v[m])}

π i 1 , i 2 , ⋯   , i k ( R ) = { t ∣ ( ∃ u ) ( R ( u ) ∧ t [ 1 ] = u [ i 1 ] ∧ t [ 2 ] = u [ i 2 ] ∧ ⋯ ∧ t [ k ] = u [ i k ] ) } \pi_{i_1,i_2,\cdots,i_k}(R)=\{t|(\exists u)(R(u) \land t[1] = u[i_1] \land t[2] = u[i_2] \land \cdots \land t[k]=u[i_k])\} πi1​,i2​,⋯,ik​​(R)={t∣(∃u)(R(u)∧t[1]=u[i1​]∧t[2]=u[i2​]∧⋯∧t[k]=u[ik​])}

σ F ( R ) = { t ∣ R ( t ) ∧ F } \sigma_F(R)=\{t|R(t) \land F\} σF​(R)={t∣R(t)∧F}