【LeetCode】求解最长回文长度

求解最长回文的问题有多种解法，这里对复杂度为O(n)的Manacher算法进行简单的介绍

Manacher算法

Manacher算法主要解决了两个问题：

• 回文字符串长度奇偶对应的中心不同
• 重复的计算

下面就来看看具体是怎么解决这两个问题的吧！

插入特殊字符

回文字符串可能出现abba， aba两种情况，对于abba其中心点bb，aba中心点为a，那么对于要求解的字符串，通过首尾及间隔插入特殊字符，就可以保证中心一定是1个字符， 同时回文长度均为扩展后的回文半径-1
为什么是扩展后的回文半径-1呢？
假设原回文半径为r
若回文长度为偶数， 则原回文长度为2r, 扩展后的半径为2r+1
若回文长度为奇数， 则原回文长度为2r-1， 扩展后的半径为2r。
很显然，原回文长度恰好是扩展后的半径-1

利用回文的对称性

在求解每个点的回文半径时，记录最右边界的回文，利用其对称性，减少当前点的计算

假设: 当前点为P, 最右回文边界为MR， 其中心点为C
根据P点的位置，可分为以下几种情况进行计算：

• P>=MR : 与一般解法一致，以P为中心两侧扩散，求其回文半径，并更新最右边界
  
• P<MR, 此时可利用对称性减少计算，设其关于C的对称点为P’, P’的最左边界为P’L,则又分为三种情况：

  • P’的左边界在C左边界内， 即 P’L > 2C-MR, 则 r( P) = r(P’)
    

  • P’的左边界在C左边界之外，即P’L < 2C-MR, 此时r( P) = MR-P , 这种情况下，在C的半径范围外P和P’ 的半径一定是不对称的，否则C的边界就不是MR了
    

  • P’的左边界恰好落在C的左边界，即P’L = 2C-MR, 此时，P的回文半径至少是r(P’) 那么从MR开始往外扩散，随之最右边界更新