19、拉普拉斯变换在电路分析中的应用实例解析

拉普拉斯变换在电路分析中的应用实例解析

1. 拉普拉斯变换示例 2

在这个示例中，我们考虑一个特定的电路，其中开关长时间处于断开状态，在 (t = 0) 时闭合，且电容器初始未充电。我们的目标是求解 (t > 0) 时电路中的电流。

首先，根据基尔霍夫电压定律，对于电路中的两个回路，我们可以得到以下两个方程：
[
\begin{cases}
V_0 - I_1R_1 - (I_1 - I_2)R_2 = 0 \
(I_1 - I_2)R_2 - I_2R_3 - \frac{1}{C}\int_{0}^{t}I_2dt = 0
\end{cases}
]
这里的积分表示自 (t = 0) 以来电容器上积累的净电荷，由于初始电荷为零，该积分也给出了电容器上的总电荷。

接下来，对这两个方程的两边应用拉普拉斯变换，并进行一些整理，得到：
[
\begin{cases}
\mathbf{I}_1(R_1 + R_2) - \mathbf{I}_2R_2 = \frac{V_0}{s} \
\mathbf{I}_1R_2 - \mathbf{I}_2(R_2 + R_3 + \frac{1}{sC}) = 0
\end{cases}
]
通过求解第二个方程，用 (\mathbf{I}_1) 表示 (\mathbf{I}_2)，并将结果代回第一个方程，我们可以得到 (\mathbf{I}_1) 和 (\mathbf{I}_2) 的解：
[
\begin{cases}
\mathbf{I}_2 = \frac{R_2}{