0025CountMedian

Count Median

编号：0025

题目来源：AtCoder

题目描述

假定有$N$个整数$X_1,X_2,\dots ,X_N$，我们知道其中的任意一个整数$A_i\le X_i\le B_i$，也就是说我们知道每一个数取值的上下界，要给出这$N$个整数的中位数的可能取值情况。

当$N\&1=1$的时候，也就是$N$是奇数的时候，中位数是$x_{\frac{N+1}{2}}$

当$N\&1=0$的时候，也就是$N$是偶数的时候，中位数是$(x_{\frac{N}{2}}+x_{\frac{N}{2}+1})/2$

取值范围：

• $2\le N\le 2\times 10^5$
• $1\le A_i\le B_i\le 10^9$
• 所有输入均为整数

输入

N

$A_1$ $B_1$

$⋮$

$A_N$ $B_N$

解答算法

算法思路

很显然，如果一个数$x$可以做数列$X_1,\cdots ,X_N$的中位数，那么起码要有一半的数字可以比$x$小，那么让所有的数字都取到他们的最小值，然后该数列$A_1,\cdots ,A_N$的中位数就应该是整体中位数的最小值；同时也要有一般的数字能够比$x$大，因此，让所有的数字都取到他们的最大值，然后该数列$B_1,\cdots ,B_N$的中位数就是整体中位数的最大值。

当$N$为奇数的时候，那么中位数的最小变动是1，因此$[a,b]$中会有$b-a+1$个可能取值。

当$N$为偶数的时候，那么中位数的最小变动是$0.5$，因此$[a,b]$中会有$2\ast (b-a)+1$个可能取值。又因为当$N$是偶数的时候，a和b都是两个数相加的和，因此可以看作$(b_1+b_2)-(a_1+a_2)+1$

对于求解数列的中位数，比较简单的方法就是直接进行排序，然后去下标中间的数字，这样做的时间复杂度是$O(nlogn)$，因为排序的时间复杂度是$O(nlogn)$

也可以采用最大最小栈的方法，设定两个优先栈$max,min$，然后每一次输入新的数字，都对两个栈进行替换，这样因为只输入了$n$个数字，最终时间复杂度应为$O(n)$

代码实现

• 排序实现

#include <bits/stdc++.h>   //这个是linux下的头文件，用的VS估计过不了，改一下头文件就好
#include <queue>
using namespace std;

using ull = unsigned long long;
using ll = long long;

int main()
{
	int n ;
	cin >> n ;
	vector<long long> small ;   //两个数组，分别用来存放A,B
	vector<long long>large  ;
	for (int i = 0 ; i < n ; ++i) {   //输入数组
		long long a , b ;
		cin >> a >> b  ;
		small.push_back(a) ;
		large.push_back(b) ;
	}
 
	sort(small.begin() , small.end()) ;   //进行排序
	sort(large.begin() , large.end()) ;
	if (n % 2 == 1) {    //奇偶输出
		long long d = large[(n) / 2] - small[(n) / 2] + 1 ;
		cout << d << endl ;
	}
	else {
		long long a, b ;
		a = small[n / 2 - 1] +  small[n / 2 ]   ;
 
		b = large[n / 2 - 1]  + large[n / 2] ;
		cout << b - a + 1 << endl ;
	}
	return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
#include <queue>
using namespace std;

using ull = unsigned long long;
using ll = long long;

//最大最小栈的读入函数，这个好像是leetcode的一道题，我借用了一下
void addNum(int num, priority_queue<ll, vector<ll>,  greater<ll> >& maxheap, priority_queue<ll>& minheap) {
        if (maxheap.size() > minheap.size()) {
            maxheap.push(num);
            minheap.push(maxheap.top());
            maxheap.pop();
        }
        else {
            minheap.push(num);
            maxheap.push(minheap.top());
            minheap.pop();
        }
    }

int main()
{
	priority_queue<ll> minMin, minMax;   //设置4个栈
	priority_queue<ll, vector<ll>, greater<ll> > maxMin, maxMax;
	int N;
	scanf("%d", &N);
	
	for(int i = 0; i < N; i++)   //依次进行添入
	{
		ll min, max;
		scanf("%lld %lld", &min, &max);
		addNum(min, maxMin, minMin);
		addNum(max, maxMax, minMax);
	}
	ll result = 0;
	if(N == 1)   //判断输出
		result = minMax.top() - minMin.top() + 1;
	else if(N == 0)
		result = 0;
	else if(N & 1)
	{
		ll myMin = maxMin.top(), myMax = maxMax.top();
		result = (myMax - myMin + 1);
	}
	else
		result = (minMax.top() + maxMax.top()) - (minMin.top() + maxMin.top()) + 1;
	cout << result << endl;
	return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：一个是$O(nlogn)$，一个是$O(n)$
• 空间复杂度：都为$O(n)$