tmpfile-线性筛逆元

最新推荐文章于 2019-08-04 16:36:06 发布

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本文详细介绍了三种不同的模逆元计算方法，包括基于等式的直接推导、利用负数求解以及通过整除操作实现的计算技巧。这些方法对于理解和解决涉及模运算的问题非常有用。

证明一
结论：若有 $(ka)^{-1}=m(mod$ $p)$ ①
则有 $a^{-1}=km\%p(mod$ $p)$ ②
$\Rightarrow a^{-1}=k(ka)^{-1}(mod\quad p)$

因为由①可得
$ka\times m\equiv 1(mod\quad n)$
$\Rightarrow$ $a\times km \equiv 1(mod\quad n)$

证明二

{- (p - a) - 1 g c d (a, p) = - a - 1 = 1 (m o d p)

$\left\{ \begin{aligned} -(p-a)^{-1} &=-a^{-1} & & (mod\quad p)\\ gcd(a,p)& = 1\\ \end{aligned} \right.$

设 $x = a^{-1}$ ， $y=(p-a)^{-1}$
那么则有：

{x a % p = 1 y (p - a) % p = 1 ① ②

$\left\{ \begin{aligned} xa\%p=1&&①\\ y(p-a)\%p=1&&② \end{aligned} \right.$
②

⇒(yp−ya)%p=1⇒−ya%p=1 $\Rightarrow (yp-ya)\%p=1 \Rightarrow -ya\%p=1$ ③
①、③

⇒x=−y $\Rightarrow x=-y$

证明三
结论： $a^{-1}=\lfloor\frac{p}{a}\rfloor (p-p\%a)^{-1}$

令 $k=\lfloor\frac{p}{a}\rfloor$
∵ $a^{-1}=k(ka)^{-1}$ ， $ka = p-p\%a$
∴ $a^{-1}=k(p-p\%a)^{-1}$
∵ $(p-p\%a)^{-1}=-(p\%a)^{-1}$
∴ $a^{-1}=-k(p\%a)^{-1}$
带入 $k$ 得
$a^{-1}=-\lfloor\frac{p}{a}\rfloor (p\%a)^{-1}=\lfloor\frac{p}{a}\rfloor (p-p\%a)$