MillerRabin

Miller-Rabin算法的理论基础
如果$n$是一个奇素数，将$n-1$表示成$2^{s}r$的形式（$r$是奇数），$a$是和$n$互素的任何整数，那么$a^{r}\equiv 1(mod$ $n)$ 或者对某个$j(0\leq j\leq s-1, j\in Z)$等式$a^{2jr }\equiv -1(mod$ $n)$成立。

素数判定思路
1.如果$a^{d} \not = 1(mod$ $n)$，以及$(n=1+2^{s} d)$是素数，则值序列：
$a^{d}mod$ $n$，$a^{2d}mod$ $n$ ，$a^{4d}mod$ $n$，$a^{8d}mod$ $n$ ……,，$a^{2^{s}d}mod$ $n$ 将以$1$结束，而且在头一个$1$的前边的值僵尸$n - 1$(当$p$是素数时，对于$y^{2}\equiv 1(mod$ $p))$ 仅有的解是$y=\pm 1$，因为$(y+1)(y-1)$必须为$p$的倍数。

2.如果该序列中出现了$n - 1$， 则该序列的下一个值一定是$1$，(因为$(n-1)^{2}=n^{2}-2n+1\equiv 1(mod$ $n)$)

步骤
1. 将$n-1$分解成$2^{s}d$的形式。
2. 将$(3-10)$行循环$k$次。（出错概率为($\frac{1}{4})^{k}$）
3. ~在$[2,n-2]$的范围中独立&随机地选择一个正整数$a$。
4. ~计算该序列的第一个值$x=a^{d}mod$ $n$
5. ~如果该序列的第一个值是$1$或$n-1$，符合上述条件，$n$可能为素数，转到第3行进行下一次循环。
6. ~循环执行$7-9$行，顺序遍历该序列的剩下的$(s-1)$个值
7. ~~计算该序列的下一个值：$x=x^{i} mod$ $n$
8. ~~如果这个值是$1$，但前边的值不是$n-1$，不符上述条件，$n$肯定为合数，算法结束。
9. ~~如果这个值是$n-1$，因此下一个值一定是$1$，符合上述条件，$n$可能为素数，转到第$3$行进行下一次循环。
10. ~发现该序列不是以$1$结束，不符上述条件，因此$n$肯定为合数，算法结束。
11. 已经对$k$个独立&随机的$a$值进行了检验，因此判断$n$非常有可能为素数。