Miller_Rabin 算法进行素数测试 pollard_rho 算法进行质因数分解 poj1811Prim Test-优快云博客

本文介绍并实现了Miller_Rabin素数测试算法与Pollard_rho质因数分解算法。Miller_Rabin算法能快速判断小于2^63的数是否为素数；Pollard_rho算法则用于对非素数进行有效的质因数分解。

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需要的板子：

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// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S = 10;
//计算x*y%c
LL modular_multi(LL x,LL y,LL mo)
{
    LL t;
    x%=mo;
    for(t=0;y;x=(x<<1)%mo,y>>=1)
        if (y&1)
            t=(t+x)%mo;
    return t;
}
//计算num^t%c
LL modular_exp(LL num,LL t,LL mo)
{
    LL ret=1,temp=num%mo;
    for(;t;t>>=1,temp=modular_multi(temp,temp,mo))
        if (t&1)
            ret=modular_multi(ret,temp,mo);
    return ret;
}

bool miller_rabbin(LL n)
{
    if (n==2)return true;
    if (n<2||!(n&1))return false;
    int t=0;
    LL a,x,y,u=n-1;
    while((u&1)==0) t++,u>>=1;
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        a=rand()%(n-1)+1;
        x=modular_exp(a,u,n);
        for(int j=0;j<t;j++)
        {
            y=modular_multi(x,x,n);
            if (y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                return false;
            ///其中用到定理，如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。
            ///如果一个数x满足方程x^2≡1 (mod n),但x不等于对模n来说1的两个‘平凡’平方根：1或-1，则x是对模n来说1的非平凡平方根
            x=y;
        }
        if (x!=1)///根据费马小定理,若n是素数，有a^(n-1)≡1(mod n).因此n不可能是素数
            return false;
    }
    return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;//???????
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(modular_multi(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(miller_rabbin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}

题目：

/*
    *判断给出的数是不是素数，如果是输出prim，如果不是则找出最小质因子。
    *应该说这两个真是连成套用的。
    *板子题
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S = 10;
//计算x*y%c
LL modular_multi(LL x,LL y,LL mo)
{
    LL t;
    x%=mo;
    for(t=0;y;x=(x<<1)%mo,y>>=1)
        if (y&1)
            t=(t+x)%mo;
    return t;
}
//计算num^t%c
LL modular_exp(LL num,LL t,LL mo)
{
    LL ret=1,temp=num%mo;
    for(;t;t>>=1,temp=modular_multi(temp,temp,mo))
        if (t&1)
            ret=modular_multi(ret,temp,mo);
    return ret;
}

bool miller_rabbin(LL n)
{
    if (n==2)return true;
    if (n<2||!(n&1))return false;
    int t=0;
    LL a,x,y,u=n-1;
    while((u&1)==0) t++,u>>=1;
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        a=rand()%(n-1)+1;
        x=modular_exp(a,u,n);
        for(int j=0;j<t;j++)
        {
            y=modular_multi(x,x,n);
            if (y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                return false;
            ///其中用到定理，如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。
            ///如果一个数x满足方程x^2≡1 (mod n),但x不等于对模n来说1的两个‘平凡’平方根：1或-1，则x是对模n来说1的非平凡平方根
            x=y;
        }
        if (x!=1)///根据费马小定理,若n是素数，有a^(n-1)≡1(mod n).因此n不可能是素数
            return false;
    }
    return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
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long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;//???????
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(modular_multi(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(miller_rabbin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}
//----------------------------------------------//
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    LL n;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(miller_rabbin(n))puts("Prime");
        else
        {
            tol = 0;
            findfac(n);
            LL ans = factor[0];
            for(int i = 1; i < tol; ++i)ans = min(ans,factor[i]);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}