基于FPGA的快速傅里叶变换加速（一）

最新推荐文章于 2025-06-13 14:18:44 发布

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#算法 #fpga #fft #c++

本文详细介绍了快速傅里叶变换（FFT）的基本原理和C++实现，包括递归方法和位逆序置换。通过分治策略，FFT将计算复杂度降低到O(nlogn)。此外，还提供了64点FFT的C++代码实例，展示了如何进行分层蝶形运算。

基于FPGA的快速傅里叶变换加速（一）基本原理介绍及C++代码实现

1. FFT的基本原理
2 两种C++代码实现
- 2.1 递归实现
- 2.2 分层蝶形运算/位逆序置换(bit-reversal permutation)
本文结束，详情可见下篇博客

基本原理介绍及C++代码实现)

1. FFT的基本原理

1.1 离散傅里叶变换

介绍FFT之前需要首先介绍DFT(Discrete Fourier Transform),即离散傅里叶变换，是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其 DTFT 的频域采样。

1.2 快速傅里叶变换

1.2.1 概念

FFT(Fast Fourier Transform)，是一种高效实现 DFT 的算法，它对傅里叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。快速数论变换 (NTT) 是快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现。

在 1965 年，Cooley 和 Tukey 发表了快速傅里叶变换算法。事实上 FFT 早在这之前就被发现过了，但是在当时现代计算机并未问世，人们没有意识到 FFT 的重要性。一些调查者认为 FFT 是由 Runge 和 König 在 1924 年发现的。但事实上高斯早在 1805 年就发明了这个算法，但一直没有发表。

1.2.2 基本思想

FFT 算法的基本思想是分治。就 DFT 来说，它分治地来求当的时候的值。他的分治思想体现在将多项式分为奇次项和偶次项处理。

举个例子，对于一共8项的多项式
源自OI-Wiki
在这里插入图片描述

2 两种C++代码实现

2.1 递归实现

代码实现方面，STL 提供了复数的模板，当然也可以手动实现。两者区别在于，使用 STL 的 complex 可以调用 exp 函数求出Wn。但事实上使用欧拉公式得到的虚数来求 Wn也是等价的。

#include <cmath>
#include <complex>
#define M_PI 3.14159265358979323846
// M_PI是C++自带宏，如果报错则加上上面一行即可

typedef std::complex<double> Comp;  // STL complex

const Comp I(0, 1);  // i
const int MAX_N = 1 << 20;

Comp tmp[MAX_N];

//这里是封装好的DFT函数，需要自行在main函数中调用
void DFT(Comp* f, int n, int rev) 
{  
    // rev=1,DFT; rev=-1,IDFT
    if (n == 1) return;
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        tmp[i] = f[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
    {  // 偶数放左边，奇数放右边
        if (i & 1)
            f[n / 2 + i / 2] = tmp[i];
        else
            f[i / 2] = tmp[i