数学建模笔记——动态规划

动态规划

1. 模型原理

动态规划是运筹学的一个分支，通常用来解决多阶段决策过程最优化问题。动态规划的基本想法就是将原问题转换为一系列相互联系的子问题，然后通过逐层地推来求得最后的解。目前，动态规划常常出现在各类计算机算法竞赛或者程序员笔试面试中，在数学建模中出现的相对较少，但这个算法的思想在生活中非常实用，会对我们解决实际问题的思维方式有一定启发。

动态规划组成部分：

1. 确定状态：解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素需要明确代表什么，类似于确定数学题中X、Y的含义
2. 转移方程：把状态表达成方程
3. 初始条件和边界情况
4. 计算顺序

2. 典型例题

2.1 例1 凑硬币

你有三种硬币，分别面值2元、5元和7元，每种硬币都有足够多，买一本书需要27元，如何用最少的硬币组合起来正好付清，不需要对方找钱

1. 确定状态

   • 最后一步：

     虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是有k校硬币，$a_1,a_2,......a_k$加起来面值为27，所以一定存在有最后一枚硬币：$a_k$，除了这枚硬币，前面的面值加起来是$27-a_k$，两个关键点：

     • 我们不关心前面的$k-1$枚硬币是怎么拼出$27-a_k$的(可能有很多种拼法),而且我们现在甚至还不知道$a_k$和$k$是多少，但我们可以确定前面的硬币拼出了$27-a_k$
     • 因为是最优策略，所以拼出$27-a_k$的硬币数一定要最少，否则就不是最优策略

   • 子问题：

     • 最少可以用多少枚硬币拼出$27-a_k$
     • 原问题是最少可以用多少枚硬币可以拼出27
     • 我们将原问题可以转化为一个规模更小的子问题：$27$