状压dp+矩阵——洛谷 P1357 花园

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状压dp

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本文介绍了一道关于状态压缩动态规划并使用矩阵快速幂进行优化的问题。通过枚举状态和转移来解决特定序列的计数问题，并给出了两种实现方式：一种是朴素的DP方法，另一种则是利用矩阵快速幂加速计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1357
简单来说，这一题就是一个状压dp用矩阵优化；
但是这个矩阵也是最最最基础的矩阵了（floyd矩阵）；
dp的话，和第一个题解hi一样的；
f[i][s]表示第i位时的方案，s为i~i-m+1的状态
然后转移的时候我们枚举i枚举2个s

if(v[j][k])f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mo;

这里的v[j][k]表示状态j是否可以转移到状态k；
这个数组是一开始直接暴力预处理的；
那么我的70分的代码（无滚存）

#include<bits/stdc++.h>
#define Ll long long
using namespace std;
bool v[64][64],ok[64];
int bb[10],b[10];
Ll f[100010][64];
Ll n,m,k,w,ans,mo=1e9+7;
void check(){
    int x=0,y=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)x=x*2+b[i];
    for(int i=2;i<=m+1;i++)y=y*2+b[i];
    for(int i=1;i<=m+1;i++)bb[i]=bb[i-1]+b[i];
    for(int i=m;i<=m+1;i++)
        if(bb[i]-bb[i-m]>k)return;
    v[x][y]=1; ok[x]=ok[y]=1;
}
void dfs(int x){
    if(x>m+1){check();return;}
    b[x]=1;dfs(x+1);
    b[x]=0;dfs(x+1);
}
void work(int x){
    memset(f,0,sizeof f);
    f[m][x]=1;
    for(int i=m+1;i<=n+m;i++)
        for(int j=0;j<=w;j++)
            for(int k=0;k<=w;k++)
                if(v[j][k])f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mo;
    ans=(ans+f[n+m][x])%mo;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    w=(1<<m)-1;
    dfs(1);
    for(int i=0;i<=w;i++)if(ok[i])work(i);
    printf("%lld",ans);
}

然后矩阵快速幂直接套上去就好了；
就是把那个v[][]直接自乘n次，然后算答案；

#include<bits/stdc++.h>
#define Ll long long
using namespace std;
struct jv{
    Ll a[64][64];
    jv(){memset(a,0,sizeof a);}
}v,a;
bool ok[64];
int bb[10],b[10];
Ll n,m,k,w,ans,mo=1e9+7;
void check(){
    int x=0,y=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)x=x*2+b[i];
    for(int i=2;i<=m+1;i++)y=y*2+b[i];
    for(int i=1;i<=m+1;i++)bb[i]=bb[i-1]+b[i];
    for(int i=m;i<=m+1;i++)
        if(bb[i]-bb[i-m]>k)return;
    v.a[x][y]=1; ok[x]=ok[y]=1;
}
void dfs(int x){
    if(x>m+1){check();return;}
    b[x]=1;dfs(x+1);
    b[x]=0;dfs(x+1);
}
jv cheng(jv a,jv b){
    jv c;
    for(int i=0;i<=w;i++)
        for(int j=0;j<=w;j++)
            for(int k=0;k<=w;k++)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mo;
    return c;        
}
jv ksm(jv x,Ll y){
    jv ans=x;
    for(y--;y;y>>=1,x=cheng(x,x))
        if(y&1)ans=cheng(ans,x);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    w=(1<<m)-1;
    dfs(1);
    a=ksm(v,n);
    for(int i=0;i<=w;i++)if(ok[i])ans=(ans+a.a[i][i])%mo;
    printf("%lld",ans);
}