可逆矩阵的逆

• 首先判断其行列式（$|A|$）是否等于 0，如果等于 0，就说明不可逆 ；

1. 伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

• 逆矩阵和伴随矩阵只差一个系数；
• 伴随矩阵与原矩阵形成映射关系；

$A$ 的伴随矩阵通过代数余子式定义。

最简单的二阶方阵，

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} ⇒ \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{21}\\ -a_{12} & a_{11} \end{bmatrix}$$

• 主对角线对换；
• 反对角线对换，且取反；

2. 伴随矩阵 ⇒ 逆矩阵

$$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$$

方阵 $A$ 的行列式的倒数乘以 $A$ 的伴随矩阵；

3. 常见矩阵的逆矩阵

$$C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 1 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots\\ 1&1&\ldots & 1 \end{pmatrix} ⇒ C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0& \ldots & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 1\\ \end{pmatrix}$$